تبدیلها، فاصله و مکانهای هندسی
جبرِ را بنویس، شکل را در صفحه بخوان
با برگهٔ پیشین، حسابِ اعداد مختلط کامل شد: جمع و ضرب، توان و ریشه، و تقسیم — همه در دستاند. این برگه نخستین جایی است که این دستگاه را به کار میاندازیم؛ نه برای ساختن قاعدهای تازه، بلکه برای عادت دادنِ چشم: هر عبارت جبری دربارهٔ چیزی هندسی میگوید — گاهی یک تبدیلِ صفحه است، گاهی یک شکل.
تبدیلهای
دو عمل اصلی ما از همان آغاز تبدیل بودند:
- جمع با عدد ثابت — تبدیل — کل صفحه را به اندازهٔ بردار جابهجا میکند: یک انتقال.
- ضرب در عدد ثابت — تبدیل — صفحه را حول مبدأ به اندازهٔ میچرخاند و با ضریب میکشد: همان دوران و کشش برگهٔ نخست.
ترکیب این دو، تبدیل است: بچرخان و بکش، سپس جابهجا کن.
اما این ترکیب رازی دارد. برای معادلهٔ نقطهٔ ثابت — — همیشه یک جواب دارد:
نقطهای که تبدیل، آن را تکان نمیدهد. و همین نقطه، کل رفتار تبدیل را روشن میکند؛ کافی است حرکت هر نقطه را نسبت به تماشا کنیم. چون ثابت است، ؛ این را از کم کنید:
سمت چپ، بردارِ از به نقطهٔ جدید است؛ سمت راست، همان بردار پیش از تبدیل، ضربشده در . یعنی اگر چشممان را روی بگذاریم و همهچیز را از آنجا بسنجیم، تبدیلِ ما چیزی نیست جز «ضرب در »: همان دوران و کششِ همیشگی، فقط این بار حول بهجای مبدأ. انتقال، مرکزِ چرخش را جابهجا کرده است؛ نوعِ حرکت همان است.
مثال. تبدیل را روی مربعی با رأسهای امتحان کنید:
مربع به خودش برگشت! رأسها فقط یک خانه چرخیدهاند. دلیلش را نقطهٔ ثابت لو میدهد:
که دقیقاً مرکز مربع است؛ و یعنی چرخش ۹۰ درجه حول همین مرکز.
تبدیل مربع را به خودش میبرد: چرخش ۹۰ درجه حول نقطهٔ ثابتِ ؛ پیکانهای نقطهچین، سرنوشتِ رأسها را نشان میدهند.
پیش از ادامه، حدس بزنید. تبدیل با صفحه چه میکند؟ نقطهٔ ثابتش کجاست؟
پاسخ
ضرب در نیمدور است؛ پس این تبدیل، نیمدوری است حول نقطهٔ ثابتش: . هر نقطه به قرینهاش نسبت به نقطهٔ میرود.
فاصله
در برگهٔ پیشین دیدیم (و اگر آنجا خودتان سنجیده باشید، حالا مال شماست): بردار از نقطهٔ به نقطهٔ میرود؛ پس:
فاصلهٔ دو نقطهٔ و برابر است با .
همین جملهٔ کوتاه، درِ ورود جبر به هندسه است: هر معادلهای که با قدر مطلق نوشته شود، جملهای دربارهٔ فاصلههاست — و جملههای فاصلهای، شکلها را توصیف میکنند.
معادلههایی که شکل میشوند
دایره. معادلهٔ میگوید: «فاصلهٔ از نقطهٔ برابر است.» این توصیفِ کلمهبهکلمهٔ یک دایره است: مرکز ، شعاع . پرسشی که برگهٔ پیشین باز گذاشته بود، اکنون جواب دارد: مجموعهٔ دایرهای است به مرکز و شعاع ۳.
مکان هندسیِ : همهٔ نقطههایی که فاصلهشان از برابر است.
عمودمنصف. معادلهٔ میگوید از دو نقطهٔ و به یک فاصله است: عمودمنصفِ پارهخطِ میان آن دو. مثلاً همهٔ نقطههایی است که از و همفاصلهاند — یعنی محور موهومی.
و شکلهای بیشتر. اگر بهجای برابری، جمعِ فاصلهها را ثابت نگه داریم — — بیضی میروید. و یک غافلگیری برای جستوجوگرها: اگر نسبتِ فاصلهها را ثابت بگیریم — با — دوباره دایره ظاهر میشود، دایرهای که به نام آپولونیوس شناخته میشود. سنجیدنش تمرین خوبی است برای ابزارهایی که حالا دارید.
تمرینها
تمرین ۱. مجموعهٔ چه شکلی است؟
پاسخ
نقطههایی که از و همفاصلهاند: عمودمنصفِ پارهخطِ میان آن دو، یعنی محور حقیقی.
تمرین ۲. مرکز و شعاع مکان هندسی را بنویسید؛ نزدیکترین نقطهٔ آن به مبدأ کدام است؟
پاسخ
دایرهای به مرکز و شعاع . نزدیکترین نقطه به مبدأ روی پارهخطِ مبدأ تا مرکز است: نقطهٔ .
یک قدم فراتر. ادعای آپولونیوس را در یک نمونه بسنجید: نشان دهید مکان هندسی یک دایره است؛ مرکز و شعاعش را بیابید.
پاسخ
دو طرف را به توان دو برسانید و بگذارید:
دایرهای به مرکز و شعاع — نسبتِ ثابتِ فاصلهها هم دایره میسازد.
جمعبندی
- تبدیل یعنی دوران و کشش و انتقال؛ و برای ، همهٔ آن چیزی جز دوران و کشش حول نقطهٔ ثابتِ نیست.
- قدر مطلقِ تفاضل، فاصله است؛ پس معادلههای قدرمطلقی، مکانهای هندسیاند: دایره، عمودمنصف، بیضی — و دایرهٔ پنهانِ آپولونیوس.
- عادت تازه: عبارت جبری را که دیدی، بپرس «این، چه شکلی است؟»
اکنون باید بتوانید… هر تبدیل را به دوران و کشش و انتقال تجزیه و نقطهٔ ثابتش را پیدا کنید؛ معادلههای قدرمطلقی را به شکل ترجمه کنید؛ و برعکس، توصیفِ هندسی را به معادله برگردانید.
در برگهٔ پایانی، بازی را عوض میکنیم: بهجای آنکه تبدیلی را یک بار اعمال کنیم، آن را بینهایت بار تکرار میکنیم — و از دلِ سادهترین قاعدهٔ غیرخطی، شکلهایی بیرون میآید که هیچ بزرگنماییای تمامشان نمیکند.