تقارن در حل دستگاه‌های معادلات
گاهی در دل یک دستگاه معادلات، ساختاری پنهان وجود دارد که اگر آن را ببینیم، حل مسئله ساده‌تر می‌شود. در برخی از این مسائل، این ساختار چیزی نیست جز تقارن.
یکی از نمونه‌های ساده و زیبا، دستگاه معادلات زیر است:
\[\begin{cases} x^3 + y^3 = z \\ y^3 + z^3 = x \\ x^3 + z^3 = y \end{cases}\]هدف این است که تمام زوج‌های مرتب $(x, y, z)$ را بیابیم که هر سه معادله را هم‌زمان ارضا می‌کنند.
تلاش‌های معمول
اگر بخواهیم با روش‌های رایج به مسئله حمله کنیم، احتمالاً سراغ جایگذاری و حذف می‌رویم.
برای مثال، می‌توانیم از معادلهٔ اول مقدار $z$ را به‌صورت
بنویسیم و آن را در دو معادلهٔ دیگر قرار دهیم؛
در نتیجه، دستگاه به دو معادله در دو مجهول $x$ و $y$ تبدیل می‌شود:
اما همین‌جا می‌بینیم که معادلات پیچیده‌تر و سهمگین‌تر می‌شوند. حذف و ساده‌سازی به‌جای اینکه دستگاه را سبک‌تر کند، آن را تقریباً غیرقابل‌حل جلوه می‌دهد.
این نقطه‌ای است که به ما یادآوری می‌کند شاید بهتر باشد قبل از ادامهٔ محاسبات،
از دور نگاه کنیم و ببینیم آیا تقارنی در مسئله پنهان نشده است؟
کشف تقارن پنهان دستگاه
پیش از آن‌که درگیر محاسبات پیچیده شویم، خوب است از دور به دستگاه نگاه کنیم.
سه معادلهٔ زیر را دوباره در نظر بگیرید:
یک نکته از همان ابتدا به چشم می‌آید:
این دستگاه نسبت به هر جابه‌جاییِ متغیرهای $x$, $y$, $z$ کاملاً متقارن است.
یعنی اگر جای $x$ و $y$ را عوض کنیم، یا $y$ و $z$ را جابه‌جا کنیم،
یا هر ترتیب دیگری از این سه را انتخاب کنیم، شکل دستگاه هیچ تغییری نمی‌کند.
این نوع تقارن قوی معمولاً نشانهٔ آن است که جواب‌های دستگاه نیز باید تقارنی مشابه داشته باشند.
یک استدلال سادهٔ ترتیبی
برای آن‌که این شهود را دقیق‌تر کنیم، فرض کنیم دو عدد با هم برابر نیستند.
مثلاً فرض کنیم:
اکنون مقدار $x$ را از معادلهٔ دوم و مقدار $y$ را از معادلهٔ سوم جایگزین می‌کنیم:
\[x = y^3 + z^3,\] \[y = x^3 + z^3.\]حال از فرض $x > y$ نتیجه می‌گیریم:
\[y^3 + z^3 \;>\; x^3 + z^3.\]می‌توان $z^3$ را از دو طرف حذف کرد و به:
\[y^3 > x^3\]رسید.
و چون تابع $t \mapsto t^3$ تابعی اکیدا صعودی است، از نامساوی بالا نتیجه می‌شود:
\[y > x.\]اما اگر قدم قبل را برعکس نگاه کنیم، این نابرابری یک چیز عجیب به ما می‌گوید:
از فرض $x > y$ به نتیجهٔ $y > x$ می‌رسیم.
که تناقض است. به همین شکل می‌توان نشان داد که:
- $y$ نیز نمی‌تواند بزرگ‌تر از $x$ باشد،
- و به دلیل تقارن کامل میان متغیرها،
هیچ‌کدام از سه متغیر نمی‌توانند از دیگری بزرگ‌تر باشند.
بنابراین تنها امکان باقی‌مانده این است که:
\[x = y = z.\]ساده‌شدن دستگاه
اکنون کافی است این مقدار را در یکی از معادلات قرار دهیم. اگر $x = y = z$ باشد، معادلهٔ اول تبدیل می‌شود به:
\[x^3 + x^3 = x,\]یا:
\[2x^3 = x.\]اگر $x = 0$ باشد که معادله برقرار است. اگر $x \neq 0$، می‌توانیم دو طرف را بر $x$ تقسیم کنیم و می‌رسیم به:
\[2x^2 = 1 \quad\Rightarrow\quad x^2 = \frac{1}{2}.\]در نتیجه سه پاسخ ممکن داریم:
\[(x, y, z) = (0, 0, 0)\]و دو جواب متقارن غیرصفر:
\[\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right),\qquad \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right).\]تقارن در این دستگاه، بدون هیچ محاسبهٔ پیچیده‌ای، به ما نشان داد که راه‌حل‌ها باید تماماً متقارن باشند.
کافی بود با یک استدلال ترتیبی ساده، نشان دهیم که هیچ دو متغیری نمی‌توانند متفاوت باشند. به‌محض درک این تقارن، دستگاه از یک معادلهٔ سنگینِ سه‌متغیره به چند خط محاسبهٔ ساده کاهش پیدا می‌کند.