اعداد مختلط · برگهٔ ۱ از ۸

آشنایی کوتاه با اعداد مختلط

گسترش طبیعی مفهوم عدد از محور حقیقی به سراسر صفحه

معرفی دستگاه اعداد مختلط گسترش طبیعی اعداد حقیقی از یک محور یک‌بعدی به صفحه‌ای دوبعدی است — صفحه‌ای که در آن، جمع و ضرب معناهایی هندسی و روشن پیدا می‌کنند.

---

از محور حقیقی تا صفحهٔ دوبعدی

یک عدد مختلط را می‌توانیم یک نقطه در صفحه در نظر بگیریم؛ و یا با تعبیری دیگر برداری که از مبدأ به آن نقطه‌ کشیده شده‌است.
اگر مختصات این نقطه را $(x_0, y_0)$ بنامیم، می‌گوییم عدد مختلطی که این نقطه را نشان می‌دهد، دارای:

• قسمت حقیقی (طول) $x_0$
• قسمت موهومی (عرض) $y_0$

است. پس می‌توانیم یک عدد مختلط را به‌صورت یک زوجِ مرتب بنویسیم:

$$z = (x_0, y_0)$$

عدد مختلط $z$: نقطه‌ای با مختصات $(x_0, y_0)$، یا برداری از مبدأ به آن نقطه.

در این برداشت، اعداد حقیقی نیز به‌طور طبیعی در میان اعداد مختلط جای می‌گیرند؛
زیرا هر عدد حقیقی $a$ همان نقطهٔ $(a, 0)$ در صفحه است — یعنی همان برداری که روی محور افقی قرار دارد.

---

تعریف طبیعی جمع

حال اگر بخواهیم جمع را در این صفحه تعریف کنیم، سرراست‌ترین راه آن است که جمع را همانند جمع دو بردار در نظر بگیریم.
این تعریف، همان رفتار شناخته‌شدهٔ جمع روی محور حقیقی را به شکلی طبیعی به کل صفحه گسترش می‌دهد.

اگر

$$z_1 = (x_1, y_1), \qquad z_2 = (x_2, y_2)$$

دو عدد مختلط باشند، جمع آن‌ها چنین تعریف می‌شود:

$$z_1 + z_2 = (x_1 + x_2,\; y_1 + y_2)$$

این همان قاعدهٔ آشنای جمع بردارهاست:
بردار دوم را از سرِ بردارِ اول آغاز می‌کنیم و نقطهٔ پایان، حاصل جمع است.

مثلثِ جمع: $z_2$ را از سرِ $z_1$ آغاز می‌کنیم؛ نقطهٔ پایان، $z_1 + z_2$ است.

---

تعریف ضرب: دوران بردارها

پس از آن‌که جمع را به‌صورت جمع بردارها تعریف کردیم، اکنون نوبت به ضرب می‌رسد. تعریف ضرب در صفحه مانند جمع سرراست نیست؛ اما یک برداشت هندسی روشن دارد.

هر عدد مختلط — یعنی هر نقطه یا بردار در صفحه — با دو ویژگی توصیف می‌شود:

• طولِ بردار: $\lvert z\rvert$
• زاویه‌ای که با جهت مثبت محور حقیقی می‌سازد: $\theta$

ایدهٔ اصلی برای تعریف ضرب این است که:

• طولِ حاصل‌ضرب برابر باشد با حاصل‌ضرب طول‌های دو عدد،
• زاویهٔ حاصل‌ضرب برابر باشد با مجموع زاویه‌های دو عدد.

به بیان هندسی:

وقتی دو عدد مختلط $z_1$ و $z_2$ را در هم ضرب می‌کنیم، بردار حاصل‌ضرب، برداری است که

• ابتدا به اندازهٔ $\lvert z_1\rvert \lvert z_2\rvert$ کشش پیدا کرده،
• و سپس به اندازهٔ $\theta_1 + \theta_2$ چرخیده است.

قاعدهٔ ضرب: طولِ حاصل‌ضرب $r_1 r_2$ است — قابل وارسی روی شعاع‌ها — و زاویه‌اش $\theta_1 + \theta_2$.

صرف این‌که بخواهیم دو نقطهٔ صفحه را در هم ضرب کنیم، پاسخ را یکتا نمی‌کند. باید بگوییم از یک ضربِ خوب چه می‌خواهیم: ضربِ اعداد حقیقی را دست‌نخورده نگه دارد؛ عدد $1$ عضو همانی باشد؛ و ضرب در هر عدد ناصفر، کل صفحه را با یک دوران و کششِ یکسان تغییر دهد. با این خواسته‌ها دیگر انتخابی باقی نمی‌ماند: طول‌ها باید ضرب شوند و زاویه‌ها باید جمع شوند. چرایی‌اش را خوانندهٔ کنجکاو خود می‌تواند بیابد؛ کلیدش این است که ببیند این خواسته‌ها «ضرب در $w$» را وامی‌دارند عدد $1$ را به کجا ببرد.

برای اطمینان از این‌که تعریف هندسیِ ضرب با ضربِ معمولی اعداد حقیقی سازگار است، دو عدد حقیقی $a$ و $b$ را در نظر می‌گیریم. در صفحهٔ مختلط این دو عدد همان بردارهای

$$(a,0), \qquad (b,0)$$

هستند. زاویهٔ هر دو بردار نسبت به محور حقیقی یا $0$ است (اگر مثبت باشند) یا $\pi$ (اگر منفی باشند). بنابراین زاویهٔ حاصل‌ضرب برابر است با جمع این زاویه‌ها:

• اگر $a$ و $b$ هر دو مثبت باشند: $0 + 0 = 0$

• اگر یکی منفی و دیگری مثبت باشد: $\pi + 0 = \pi$
  که یعنی حاصل‌ضرب روی محور حقیقی و در جهت منفی قرار می‌گیرد.

• اگر هر دو منفی باشند:
  $\pi + \pi = 2\pi = 0$
  (چرخش یک دور کامل) و نتیجه دوباره در جهت مثبت محور خواهد بود.

از طرف دیگر، طول بردار حاصل‌ضرب برابر است با

$$\lvert a\rvert\,\lvert b\rvert = \lvert ab\rvert.$$

پس بردار حاصل‌ضرب دقیقاً همان نقطهٔ

$$(ab, 0)$$

را نشان می‌دهد — درست همان نتیجه‌ای که از ضربِ اعداد حقیقی انتظار داریم.

پیش از آن‌که جلوتر برویم، دو نکتهٔ کوچک دربارهٔ زاویه، که بعدها اهمیت پیدا می‌کند. نخست، زاویه تا «دورِ کامل» مشخص است: $\theta$ و $\theta + 2\pi$ یک جهت را نشان می‌دهند، پس هر عدد به‌جای یک زاویه، بی‌شمار زاویهٔ هم‌ارز دارد. دوم، عدد صفر که طولش صفر است، اصلاً جهت و زاویه‌ای ندارد؛ هر جا از زاویهٔ یک عدد حرف می‌زنیم، منظورمان عددی ناصفر است. با این حال ضربِ صفر جای ابهام ندارد: برای هر $z$ داریم $0 \cdot z = 0$، چون طولِ حاصل‌ضرب صفر است و تنها عددِ با طول صفر، خودِ صفر است.

آزمایشگاه: دو نقطهٔ $z_1$ و $z_2$ را با موس یا انگشت بکشید و ببینید حاصل‌ضرب چگونه می‌چرخد و کش می‌آید — طول‌ها ضرب می‌شوند و زاویه‌ها جمع.

|z₁| = 1.75, θ₁ = 31° × |z₂| = 1.17, θ₂ = 70° → |z₁z₂| = 2.05, θ = 101°

پیش از ادامه، حدس بزنید. کدام عدد مختلط است که ضرب در آن، صفحه را بی‌هیچ کششی، ۹۰ درجه پادساعت‌گرد بچرخاند؟ طولش چقدر باید باشد؟ زاویه‌اش؟

---

واحد موهومی ($i$) و معنای هندسی آن

واحد موهومی: برداری با طول $1$ و زاویهٔ $\frac{\pi}{2}$ — همان جوابِ حدسِ بالا.

تا این‌جا اعداد مختلط را به‌صورت نقطه یا بردار در صفحه دیدیم. در این دستگاه، یکی از بنیادی‌ترین بردارها، بردار

$$i = (0, 1)$$

است؛ یعنی برداری که دقیقاً بر محور عمودی و با طول ۱ از مبدأ بالا می‌رود. این بردار زاویه‌ای برابر با $\frac{\pi}{2}$ با محور حقیقی می‌سازد. بر اساس تعریف هندسیِ ضرب، ضرب یک عدد مختلط در $i$ یعنی:

• کشش طول به اندازهٔ $\lvert i\rvert = 1$ (پس طول تغییر نمی‌کند)،
• چرخش به اندازهٔ $\frac{\pi}{2}$.

به بیان دیگر: ضرب در $i$ یعنی چرخش پادساعت‌گردِ ۹۰ درجه.

بررسی $i \times i$

بردار $i$ طول یک و زاویهٔ $\frac{\pi}{2}$ دارد. بنابراین در ضرب آن با خودش:

• طول جدید برابر است با
  $\lvert i\rvert\,\lvert i\rvert = 1$
• زاویهٔ جدید برابر است با
  $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$

و برداری با طول یک و زاویهٔ $\pi$ همان نقطهٔ $(-1, 0)$ در صفحه است. پس به نتیجهٔ مشهور می‌رسیم:

$$i^2 = -1.$$

این نتیجه فقط یک قانون جبری نیست؛ بلکه پیامد مستقیم تعریف هندسیِ ضرب است: چرخش ۹۰ درجه + دوباره چرخش ۹۰ درجه -> چرخش ۱۸۰ درجه -> رسیدن به $-1$.

---

تمرین‌ها

تمرین ۱. بدون هیچ محاسبه‌ای بگویید حاصل‌ضرب $(0, 2)$ و $(0, 3)$ — دو عددی که هر دو روی محور عمودی‌اند — کجای صفحه می‌افتد؛ سپس با قاعدهٔ «طول‌ها ضرب، زاویه‌ها جمع» دقیقش کنید.

پاسخ

زاویهٔ هر دو $\frac{\pi}{2}$ است؛ پس زاویهٔ حاصل $\pi$ می‌شود: روی محور حقیقی، سمت منفی. طول‌ها هم $2 \times 3 = 6$. پس حاصل $(-6, 0)$ است — ضربِ دو عددِ روی محورِ «موهومی»، عددی حقیقی و منفی از آب درآمد.

تمرین ۲. عددی با طول $2$ و زاویهٔ ۶۰ درجه را در خودش ضرب کنید. حاصل چه طول و زاویه‌ای دارد؟

پاسخ

طول $2 \times 2 = 4$ و زاویه ۱۲۰ درجه. مربعِ هر عدد، طول را به توان دو می‌رساند و زاویه را دوبرابر می‌کند.

یک قدم فراتر. بدون حساب کردنِ مؤلفه‌ها بگویید حاصل‌ضربِ $1 \cdot i \cdot (-1) \cdot (-i)$ چیست.

پاسخ

طولِ هر چهار عدد $1$ است، پس طول حاصل هم $1$. زاویه‌ها: $0 + 90 + 180 + 270 = 540$ درجه، که پس از یک دورِ کامل همان ۱۸۰ درجه است. پس حاصل، عددی با طول $1$ و زاویهٔ ۱۸۰ درجه است: $-1$.

---

اکنون باید بتوانید…

• جمع دو عدد مختلط را روی شکل، با مثلثِ بردارها بسازید.
• ضرب را بی‌واسطهٔ هیچ فرمولی، با «طول‌ها ضرب، زاویه‌ها جمع» انجام دهید.
• توضیح دهید $i^2 = -1$ پیامد کدام تصویر است.
• و بگویید چرا با آن سه خواسته، قاعدهٔ ضرب از پیش تعیین شده بود.