یادداشت‌های فرکتالی
گام‌های کوچک در دل ساختارهای بزرگ ریاضی

اعداد مختلط؛ مزدوج، قدر مطلق و تقسیم

آخرین قطعهٔ حساب: تقسیم هم دوران است — فقط در جهت برعکس

در یادداشت‌های پیشین برای اعداد مختلط جمع، ضرب، توان و ریشه ساختیم و همه معنایی هندسی داشتند. یک عمل هنوز مانده است: تقسیم. برای آن به دوست تازه‌ای نیاز داریم که خودش هم تصویری زیبا دارد: مزدوج.

مزدوج: بازتاب در آینهٔ محور حقیقی

برای عدد مختلط z=x+y iz = x + y\,i، مزدوجِ آن را چنین تعریف می‌کنیم:

zˉ=x−y i\bar{z} = x - y\,i

از نگاه هندسی، zˉ\bar{z} چیزی نیست جز بازتاب zz نسبت به محور حقیقی: طول بردار همان می‌ماند و زاویه از θ\theta به −θ-\theta می‌رود.

عدد مختلط z و مزدوج آن به‌صورت بازتاب نسبت به محور حقیقی، با طول برابر و زاویه‌های قرینه

چند مشاهدهٔ فوری:

  • عدد zz حقیقی است اگر و تنها اگر zˉ=z\bar{z} = z؛ یعنی بازتابش خودش باشد.
  • مزدوجِ مزدوج، خودِ عدد است: بازتابِ بازتاب.
  • جمعِ عدد با مزدوجش همیشه حقیقی است: z+zˉ=2xz + \bar{z} = 2x.

اتحاد کلیدی: z zˉ=∣z∣2z\,\bar{z} = \lvert z \rvert^2

قدر مطلق (همان طول بردار) را مثل همیشه ∣z∣\lvert z\rvert می‌نویسیم. حالا حاصل‌ضرب z zˉz\,\bar{z} را از دو راهِ آشنا حساب کنیم:

  • هندسی: طول‌ها ضرب می‌شوند: r×r=r2r \times r = r^2؛ زاویه‌ها جمع می‌شوند: θ+(−θ)=0\theta + (-\theta) = 0. پس حاصل، عددی حقیقی و نامنفی است به اندازهٔ r2r^2.
  • جبری: (x+y i)(x−y i)=x2−(y i)2=x2+y2(x + y\,i)(x - y\,i) = x^2 - (y\,i)^2 = x^2 + y^2.
z zˉ=x2+y2=∣z∣2z\,\bar{z} = x^2 + y^2 = \lvert z \rvert^2

دو راه، یک جواب — و در ضمن تساویِ x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2 چیزی جز قضیهٔ فیثاغورس نیست که خودش را در دل حساب مختلط جا کرده است.

وارون و تقسیم

تقسیم بر zz یعنی ضرب در وارونِ آن؛ پس کافی است 1z\frac{1}{z} را بشناسیم: عددی که ضربش در zz برابر ۱ شود. نگاه هندسی جواب را لو می‌دهد: باید کششِ rr را با کششِ 1r\frac{1}{r} و چرخشِ θ\theta را با چرخشِ −θ-\theta خنثی کنیم. پس 1z\frac{1}{z} عددی است با طول 1r\frac{1}{r} و زاویهٔ −θ-\theta.

اما عددی با زاویهٔ −θ-\theta همین حالا در آستین داریم: مزدوج! فقط طولش rr است، نه 1r\frac{1}{r}. چاره‌اش ساده است: بر عدد حقیقیِ مثبتِ r2r^2 تقسیمش کنیم — و تقسیم بر عدد حقیقی مثبت را از قبل بلدیم؛ کششی ساده است که فقط طول را تغییر می‌دهد:

1z=zˉ∣z∣2\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{\lvert z \rvert^2}

سنجش: z⋅zˉ∣z∣2=z zˉ∣z∣2=∣z∣2∣z∣2=1z \cdot \dfrac{\bar{z}}{\lvert z\rvert^2} = \dfrac{z\,\bar{z}}{\lvert z\rvert^2} = \dfrac{\lvert z\rvert^2}{\lvert z\rvert^2} = 1 ✓

و تقسیم دو عدد دلخواه:

z1z2=z1 zˉ2∣z2∣2\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1\,\bar{z}_2}{\lvert z_2 \rvert^2}

این همان ترفند مدرسه‌ای «صورت و مخرج را در مزدوجِ مخرج ضرب کن» است — که حالا می‌دانیم چرا کار می‌کند: این ضرب، مخرج را به یک عدد حقیقی مثبت تبدیل می‌کند و تقسیم بر عدد حقیقی چیزی جز تغییر طول نیست.

معنای هندسی تقسیم هم از همین‌جا بیرون می‌آید:

طولِ خارج‌قسمت، نسبتِ طول‌هاست و زاویه‌اش، تفاضلِ زاویه‌ها. تقسیم، دورانِ وارونه است.

مثال

1+i1−i=(1+i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+2i+i212+12=2i2=i\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1^2 + 1^2} = \frac{2i}{2} = i

سنجش هندسی: عدد 1+i1+i طول 2\sqrt{2} و زاویهٔ π4\frac{\pi}{4} دارد و عدد 1−i1-i طول 2\sqrt{2} و زاویهٔ −π4-\frac{\pi}{4}. پس خارج‌قسمت باید طول 22=1\frac{\sqrt2}{\sqrt2} = 1 و زاویهٔ π4−(−π4)=π2\frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2} داشته باشد: عددی با طول ۱، مستقیم رو به بالا — یعنی ii. ✓

هدیهٔ پایانی: حاصل‌ضرب دو «مجموعِ دو مربع»

از تعریف هندسی ضرب می‌دانیم طول‌ها ضرب می‌شوند: ∣z1z2∣=∣z1∣ ∣z2∣\lvert z_1 z_2\rvert = \lvert z_1\rvert\,\lvert z_2\rvert. حالا دو طرف را به توان دو برسانیم و همه‌چیز را به زبان مختصات بنویسیم. اگر z1=x1+y1 iz_1 = x_1 + y_1\,i و z2=x2+y2 iz_2 = x_2 + y_2\,i باشند، از یادداشت پل جبر و هندسه می‌دانیم:

z1z2=(x1x2−y1y2)+(x1y2+x2y1) iz_1 z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + (x_1 y_2 + x_2 y_1)\,i

پس تساوی ∣z1z2∣2=∣z1∣2∣z2∣2\lvert z_1 z_2\rvert^2 = \lvert z_1\rvert^2 \lvert z_2\rvert^2 چنین ترجمه می‌شود:

(x12+y12)(x22+y22)=(x1x2−y1y2)2+(x1y2+x2y1)2(x_1^2 + y_1^2)(x_2^2 + y_2^2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2)^2 + (x_1 y_2 + x_2 y_1)^2

یعنی: حاصل‌ضرب دو عددی که هر یک مجموعِ دو مربع‌اند، خودش مجموعِ دو مربع است — اتحادی کهن که به نام برهماگوپتا–فیبوناچی شناخته می‌شود و در نظریهٔ اعداد نقشی مهم دارد. اثبات مستقیمش با باز کردن پرانتزها کمی حوصله می‌خواهد؛ اما در زبان اعداد مختلط، این فقط جملهٔ سادهٔ «طول‌ها ضرب می‌شوند» است که به زبان مختصات ترجمه شده.

جمع‌بندی

  • مزدوج یعنی بازتاب در آینهٔ محور حقیقی؛ و z zˉ=∣z∣2z\,\bar{z} = \lvert z\rvert^2.
  • وارونِ هر عدد ناصفر: 1z=zˉ∣z∣2\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{\lvert z\rvert^2}؛ ترفند «ضرب در مزدوج مخرج» دلیلی هندسی دارد.
  • تقسیم هم مانند ضرب دوران است، فقط وارونه: نسبتِ طول‌ها و تفاضلِ زاویه‌ها.
  • و یک هدیه: اتحاد برهماگوپتا–فیبوناچی، ترجمهٔ مختصاتیِ «طول‌ها ضرب می‌شوند».

با این یادداشت، حسابِ اعداد مختلط کامل شد: جمع و تفریق، ضرب و تقسیم، توان و ریشه — همه با تصویری هندسی روشن. از این‌جا به بعد، این دستگاه آماده است تا در مسئله‌های واقعی به کار بیفتد.