اعداد مختلط
عدد را از محور بیرون بیاوریم و به سراسر صفحه ببریم
بیشتر ما اعداد مختلط را نخستین بار اینگونه دیدهایم: «فرض کنید عددی هست که مربعش میشود؛ نامش را بگذارید.» بعد قاعدهها از راه میرسند — جمع اینطور، ضرب آنطور، تقسیم با فلان ترفند — و همه هم درست کار میکنند. اما دو پرسش ته ذهن میماند: این عدد واقعاً چیست؟ و این قاعدهها چرا ایناند و نه چیز دیگری؟
این هشت برگه برای همان دو پرسش نوشته شدهاند. مسیر ما از شروع نمیشود؛ از پرسشی هندسی شروع میشود که هر کس با بردارها آشنا باشد میتواند بپرسد:
جمع کردنِ نقطههای صفحه را بلدیم — همان جمع برداری. آیا میشود دو نقطهٔ صفحه را در هم ضرب هم کرد؟
معلوم میشود پاسخی طبیعی وجود دارد. همان یک ایده، که در برگهٔ نخست میبینید، پیشرانِ تمام مسیر است: معنای از دل آن بیرون میآید، قاعدههای کتاب درسی یکییکی از «قرارداد» به «پیامد» تبدیل میشوند، و در پایان، حسابِ کاملِ اعداد مختلط را در دست دارید؛ و اگر قاعدهای فراموش شود، میتوان آن را از روی تصویر بازسازی کرد.
چرا این مسیر ارزشش را دارد
- دیدن بهجای حفظ کردن. هر قاعدهای که در این مجموعه میآید، از تا فرمولهای توان و ریشه — پیش از آنکه فرمول باشند، تصویراند. اگر قاعدهای فراموش شود، میتوان آن را از روی تصویر بازسازی کرد.
- غافلگیریهای سرِ راه. در میانهٔ مسیر چیزهایی از دل این تصویر بیرون میافتند که انتظارشان را ندارید: اتحادهای مثلثاتیای که حفظکردنشان همیشه دردسر بود، شکلهایی که از حل یک معادله سبز میشوند، و اتحادی کهن از نظریهٔ اعداد.
- یک عادت فکری. این برگهها تمرینِ یک پرسشاند؛ پرسشی که به کارِ بسیاری از گوشههای دیگر ریاضی هم میآید: پیش از آنکه قاعدهای را بپذیری، بپرس تصویرش چیست.
نخِ داستان
مسیر هشت قدم دارد و هر قدم روی قدمِ پیشین میایستد: نخست تصویر را میسازیم؛ بعد آن را به زبانِ جبرِ آشنای مدرسه ترجمه میکنیم؛ بعد رفتوآمد میان این دو زبان را به مهارتی دقیق تبدیل میکنیم؛ بعد از دلِ ضرب، توان و ریشه را درمیآوریم؛ با تقسیم، حساب را کامل میکنیم؛ و در دو برگهٔ پایانی، دستگاهِ آماده را به کار میاندازیم — نخست شکلها و مکانهای هندسی، سپس دیداری با ژولیا و ماندلبرو. به همین دلیل بهتر است برگهها به ترتیب خوانده شوند — هر برگه ابزاری را به کار میگیرد که برگهٔ قبلی ساخته است.
پیشنیاز
چیز زیادی لازم نیست: بردار در صفحه، مختصات دکارتی، و آشنایی مقدماتی با سینوس و کسینوس. اگر اتحادهای مثلثاتی از یادتان رفته، نگران نباشید — جایی که لازم شوند، خودِ برگهها آنها را از نو میسازند.
فهرست برگهها
- ۱ آشنایی کوتاه با اعداد مختلط همهچیز از یک پرسش شروع میشود: دو نقطهٔ صفحه را چطور در هم ضرب کنیم؟ پاسخِ طبیعیِ این پرسش، معنای واقعیِ را هم روشن میکند.
- ۲ از هندسه تا جبر چرا اجازه داریم را مثل جبرِ معمولی ضرب کنیم و پرانتزها را باز کنیم؟ پلی میان تصویر هندسی و نمادِ آشنای مدرسه؛ و در پایان: آیا واقعاً دستگاه عددی ساختهایم؟
- ۳ اندازه، آرگومان و صورت قطبی هر عدد مختلط دو نشانی دارد: دکارتی و قطبی. رفتوآمد میان این دو، مهارتی است با یک دامِ مشهور — و در پایان، هدیهای مثلثاتی که حفظکردنش همیشه دردسر بود.
- ۴ توانها و ریشههای واحد اگر عددی را بارها در خودش ضرب کنیم چه پیش میآید؟ و کدام اعدادند که پس از بار ضرب به ۱ میرسند؟ جوابِ دوم شکلی دارد که انتظارش را ندارید.
- ۵ ریشههای یک عدد دلخواه حالا معادلهٔ کامل: برای هر عدد دلخواه. معلوم میشود در صفحهٔ مختلط هیچ عدد ناصفری «بیریشه» نیست — و همهٔ ریشهها با یک حرکت از دلِ هم بیرون میآیند.
- ۶ مزدوج، قدر مطلق و تقسیم قطعهٔ آخرِ حساب: تقسیم. سرِ راه با مزدوج آشنا میشویم و سرانجام میفهمیم ترفندِ مشهورِ «ضرب در مزدوجِ مخرج» چرا کار میکند.
- ۷ تبدیلها، فاصله و مکانهای هندسی حساب که کامل شد، به کارش میاندازیم: ضرب و جمع را به چشم تبدیلهای صفحه ببینید، فاصله را به زبان قدر مطلق بنویسید — و تماشا کنید که معادلهها یکییکی شکل میشوند.
- ۸ از z² + c تا ژولیا و ماندلبرو قاعدهای یکخطی و تکرار، فقط تکرار. از دلِ این بازیِ ساده مرزی بیرون میآید که هرچه نزدیکتر شوید، تازه اولِ ماجراست.