اعداد مختلط · برگهٔ ۸ از ۸

از $z^2 + c$ تا ژولیا و ماندلبرو

یک قاعدهٔ یک‌خطی را تکرار کن؛ مرزی می‌روید که بزرگ‌نمایی تمامش نمی‌کند

در سراسر این مجموعه هر تبدیل را یک بار اعمال می‌کردیم: یک ضرب، یک جمع، یک ریشه. در این برگهٔ پایانی، پرسش را عوض می‌کنیم: اگر تبدیلی را بارها و بارها تکرار کنیم چه می‌شود؟ و برای این بازی، ساده‌ترین قاعده‌ای را برمی‌داریم که خطی نیست:

$$z \;\mapsto\; z^2 + c$$

که در آن $c$ عددی مختلط و ثابت است. از نقطه‌ای مانند $z_0$ شروع می‌کنیم و قاعده را پشتِ سر هم اعمال می‌کنیم:

$$z_1 = z_0^2 + c, \qquad z_2 = z_1^2 + c, \qquad z_3 = z_2^2 + c, \;\dots$$

به دنبالهٔ $z_0, z_1, z_2, \dots$ مدارِ نقطهٔ $z_0$ می‌گویند. تمام این برگه دربارهٔ یک پرسش است: سرنوشت مدار چیست؟

---

گرم کردن: $c = 0$

با $c = 0$ قاعده می‌شود $z \mapsto z^2$؛ و مجذور کردن را از برگهٔ توان‌ها خوب می‌شناسیم: اندازه به توان دو می‌رسد و آرگومان دوبرابر می‌شود. پس سه سرنوشت بیشتر در کار نیست:

• اگر $\lvert z_0\rvert < 1$: اندازه‌ها پله‌پله آب می‌روند — $0.9$، بعد $0.81$، بعد حدودِ $0.66$، … — و مدار به سوی صفر فرومی‌نشیند.
• اگر $\lvert z_0\rvert > 1$: اندازه‌ها منفجر می‌شوند و مدار به بی‌نهایت می‌گریزد.
• اگر $\lvert z_0\rvert = 1$: مدار برای همیشه روی دایرهٔ واحد می‌ماند — همان قدم‌زدنِ برگهٔ توان‌ها، این بار با گام‌هایی که هر بار دوبرابر می‌شوند.

دو سرنوشت زیر $z \mapsto z^2$: مدارِ $z_0$ (دایره‌ها، درون دایرهٔ واحد) به صفر فرومی‌نشیند؛ مدارِ $w_0$ (مربع‌ها، بیرون آن) می‌گریزد.

مرزِ میان «ماندن» و «گریختن» این‌جا کاملاً آشناست: دایرهٔ واحد. یک طرفش سقوط، طرف دیگرش فرار، و روی خودِ مرز، رقصی ابدی.

---

پیش از ادامه، حدس بزنید. با $c = -1$، مدارِ صفر چه سرنوشتی دارد؟ چند قدمش را با دست حساب کنید.

پاسخ

$0 \mapsto -1 \mapsto 0 \mapsto -1 \mapsto \dots$ — مدار در یک چرخهٔ دوتایی می‌افتد و برای همیشه کران‌دار می‌ماند. پس $-1$ (به تعریفی که چند بند پایین‌تر می‌آید) درونِ مجموعهٔ ماندلبرو است.

مجموعهٔ ژولیا: همان مرز، برای $c$های دیگر

حالا $c$ را ناصفر بگیرید. باز هم بعضی نقطه‌های شروع می‌مانند — مدارشان برای همیشه کران‌دار است — و بعضی می‌گریزند؛ و باز هم مرزی این دو سرزمین را از هم جدا می‌کند. به این مرز، مجموعهٔ ژولیای $c$ می‌گویند.

تفاوت این‌جاست: برای $c \neq 0$ این مرز دیگر دایره نیست. شکلی است که در هر بزرگ‌نمایی باز هم به همان اندازه پرجزئیات است — خم‌هایی درونِ خم‌ها، تا هر عمقی که چشم برود. به چنین شکل‌هایی فراکتال می‌گویند.

ژولیایِ $c = -0.123 + 0.745\,i$: سیاه، نقطه‌های شروعِ کران‌دار؛ مرزِ این ناحیه، مجموعهٔ ژولیاست.

در این تصویر، ناحیهٔ سیاه همهٔ نقطه‌های شروعی است که مدارشان کران‌دار می‌ماند ($c = -0.123 + 0.745\,i$)؛ مجموعهٔ ژولیا، مرزِ همین ناحیه است. این شکل آن‌قدر مشهور است که نام دارد: «خرگوشِ دُوادی».

---

نقشهٔ همهٔ ژولیاها: مجموعهٔ ماندلبرو

بازی دوم، وارونهٔ بازی اول است: به‌جای آن‌که $c$ را ثابت نگه داریم و نقطهٔ شروع را عوض کنیم، نقطهٔ شروع را ثابت می‌گیریم — $z_0 = 0$ — و خودِ $c$ را عوض می‌کنیم. مجموعهٔ ماندلبرو یعنی: همهٔ $c$هایی که مدارِ صفر برایشان کران‌دار می‌ماند.

دقت کنید که ژولیا و ماندلبرو در دو صفحهٔ متفاوت زندگی می‌کنند: هر مجموعهٔ ژولیا در صفحهٔ نقطه‌های شروع است، به ازای یک $c$ معین؛ اما ماندلبرو در صفحهٔ خودِ $c$هاست — هر نقطه‌اش خلاصهٔ سرنوشتِ یک بازیِ کامل است.

مجموعهٔ ماندلبرو، در صفحهٔ $c$: سیاه یعنی مدارِ صفر برای آن $c$ کران‌دار می‌ماند.

آزمایشگاه: در حالت «ماندلبرو» هر کلیک یعنی انتخابِ $c$، و مدارِ صفر رسم می‌شود؛ در حالت «ژولیا»، $c$ همان می‌ماند و کلیک، نقطهٔ شروع $z_0$ را برمی‌گزیند. ناحیهٔ بنفشِ کم‌رنگ، نقطه‌های کران‌دار است — اول در ماندلبرو یک $c$ بردارید، بعد به ژولیا بروید و همان $c$ را کاوش کنید.

ماندلبرو ژولیا

c = -0.40 + 0.35i z₀ = 0 → ✓ bounded (60 steps)

و پیوندی ژرف این دو بازی را به هم می‌دوزد — حقیقتی که این‌جا فقط گزارشش می‌کنیم: اگر $c$ درونِ مجموعهٔ ماندلبرو باشد، ژولیای آن یک‌پارچه است؛ و به محض آن‌که $c$ بیرون برود، ژولیای آن می‌شکند و به غباری از نقطه‌های ازهم‌گسیخته بدل می‌شود. ماندلبرو، فهرستِ همهٔ ژولیاهای سالم است.

---

معیار فرار — برای خوانندهٔ کنجکاو

از کجا بدانیم مداری واقعاً «گریخته» است؟ قاعدهٔ قطعیِ ساده‌ای هست: اگر در جایی از مسیر، اندازهٔ $z$ هم از $2$ و هم از $\lvert c\rvert$ بزرگ‌تر شود، بازگشتی در کار نیست. کلیدش نامساوی‌ای است که با مثلثِ جمعِ برگهٔ نخست دیده می‌شود — اندازهٔ جمع، از تفاضلِ اندازه‌ها کم‌تر نیست:

$$\lvert z^2 + c \rvert \;\ge\; \lvert z\rvert^2 - \lvert c\rvert$$

از این‌جا خودتان نتیجه بگیرید که در شرایط بالا، هر قدم اندازه را از قدمِ پیش بزرگ‌تر می‌کند — و دیگر راه برگشتی نیست. تصویرهای این برگه با همین معیار کشیده شده‌اند: رایانه برای هر نقطه، مدار را چند صد قدم دنبال می‌کند و می‌بیند فرار رخ می‌دهد یا نه.

---

تمرین‌ها

تمرین ۱. مدارِ صفر را برای $c = i$ دنبال کنید تا الگویی پیدا شود. آیا $i$ در مجموعهٔ ماندلبرو است؟

پاسخ

$$0 \;\mapsto\; i \;\mapsto\; i^2 + i = -1 + i \;\mapsto\; (-1+i)^2 + i = -i \;\mapsto\; (-i)^2 + i = -1 + i \;\mapsto\; \dots$$

از قدم سوم به بعد، مدار میان $-1+i$ و $-i$ می‌چرخد: کران‌دار است. پس $i$ درون مجموعهٔ ماندلبرو است.

تمرین ۲. همین کار را برای $c = 1$ بکنید.

پاسخ

$$0 \mapsto 1 \mapsto 2 \mapsto 5 \mapsto 26 \mapsto \dots$$

از $2$ به بعد معیار فرار برقرار است و اندازه‌ها دیگر برنمی‌گردند. پس $1$ بیرونِ مجموعهٔ ماندلبرو است — فاصلهٔ سرنوشتِ $c = -1$ و $c = 1$ را ببینید!

یک قدم فراتر. با معیار فرار نشان دهید هر $c$ با $\lvert c\rvert > 2$ بیرونِ مجموعهٔ ماندلبرو است.

پاسخ

نخستین قدمِ مدارِ صفر، خودِ $c$ است: $z_1 = c$. حالا هم $\lvert z_1\rvert > 2$ و هم $\lvert z_1\rvert \ge \lvert c\rvert$ — دقیقاً شرایط معیار فرار. پس مدار می‌گریزد. (به همین دلیل است که کلِ مجموعهٔ ماندلبرو درون دایرهٔ شعاعِ $2$ جا گرفته است.)

---

پایان مسیر

• تکرارِ $z^2 + c$ به هر نقطهٔ شروع، یک مدار می‌دهد؛ پرسش بنیادی: کران‌دار یا گریزان؟
• مرزِ این دو سرنوشت، مجموعهٔ ژولیای $c$ است: برای $c = 0$ دایرهٔ واحد، و جز آن، فراکتال.
• ماندلبرو نقشهٔ همهٔ بازی‌هاست: سرنوشتِ مدارِ صفر، نقطه‌به‌نقطه در صفحهٔ $c$.
• و فراکتال یعنی: شکلی که بزرگ‌نمایی، تمامش نمی‌کند.

اکنون باید بتوانید… مدارِ هر نقطه را قدم‌به‌قدم حساب کنید؛ تفاوتِ صفحهٔ ژولیا و صفحهٔ ماندلبرو را توضیح دهید؛ و با معیار فرار، گریختنِ یک مدار را قطعی کنید.

مسیر ما این‌جا به پایان می‌رسد — از پرسشِ سادهٔ «دو نقطهٔ صفحه را چطور در هم ضرب کنیم؟» تا مرزی با جزئیاتِ بی‌پایان. اما دستگاه تازه گرم شده است: پیوند اعداد مختلط با نوسان و موج از راه فرمول اویلر، و سرنوشتِ چندجمله‌ای‌ها در قضیهٔ اساسی جبر، شاخه‌هایی‌اند که از همین تنه جدا می‌شوند — هر یک، روزی، برگه‌های خودش را خواهد داشت.