میانگینِ دستچینشده!
وقتی کسی میگوید «بهطور متوسط»، هنوز نصف جمله را نگفته است.
در برگهی پیش پرسیدیم چه کسانی شمرده شدهاند. دیدیم اگر نمونه از ابتدا کج باشد، حتی محاسبهای کاملاً درست هم میتواند تصویری نادرست از جامعه بسازد.
این بار فرض میکنیم نمونه هیچ ایرادی ندارد: همهی افراد درست انتخاب شدهاند، همه پاسخ دادهاند و دادهها نیز بیکموکاست ثبت شدهاند. آیا دیگر میتوانیم به نتیجه اعتماد کنیم؟
هنوز نه. اکنون باید بپرسیم دادهها چگونه در یک عدد خلاصه شدهاند.
فصل دوم کتاب دارل هاف، با عنوان The Well-Chosen Average، دربارهی همین ترفند است: از میان چند «متوسط» درست، آن یکی را انتخاب کنیم که داستان دلخواه ما را بهتر تعریف میکند.
مسیر این برگه چنین است: ابتدا میانگین حسابی، میانه و نما را از هم جدا میکنیم؛ سپس سراغ وزن گروهها و نرخها میرویم؛ و در پایان میبینیم چرا حتی یک شاخص مرکزیِ درست نیز بدون دیدن پراکندگی کافی نیست.
دو درآمد متوسط برای یک محله
هاف فصل را با ماجرای یک مشاور املاک آغاز میکند. فرض کنید من مشاورم و میخواهم خانهای در محلهای به شما بفروشم. در میان صحبتها میگویم:
درآمد متوسط خانوادههای این محله سالانه ۱۵ هزار دلار است.
این عدد مربوط به سال ۱۹۵۴ است (با درنظرگرفتن تورم، تقریباً معادل ۱۸۵ هزار دلار در سال ۲۰۲۶).۱ رقم چشمگیری است و تصویر محلهای مرفه را در ذهنتان میسازد؛ خانه را میخرید و بعدها شاید همین عدد را با افتخار برای دوستانتان هم تعریف کنید.
یک سال بعد دوباره یکدیگر را میبینیم. این بار من عضو انجمنی محلیام و برای جلوگیری از افزایش مالیات یا کرایهی اتوبوس امضا جمع میکنم. استدلالم این است:
مردم این محله توان پرداخت بیشتر ندارند؛ درآمد متوسط خانوادهها فقط ۳۵۰۰ دلار در سال است.
همان محله، همان خانوادهها و همان درآمدها؛ اما یک بار ۱۵ هزار دلار و بار دیگر ۳۵۰۰ دلار. دستکم یکی از این دو جمله باید دروغ باشد. نه؟
پیش از ادامه، حدس بزنید. چگونه ممکن است هر دو عدد از همان دادهها به دست آمده باشند؟
عدد نخست میانگین حسابی (mean) درآمدهاست: درآمد همهی خانوادهها را با هم جمع کردهایم و بر تعداد خانوادهها تقسیم کردهایم. عدد دوم میانه (median) است: خانوادهها را بهترتیب درآمد چیدهایم و خانوادهی وسط را پیدا کردهایم؛ نیمی درآمد بیشتر و نیمی درآمد کمتر دارند.
هاف یک جواب سوم هم پیش میکشد: اگر بیشترین تعداد خانوادههای محله درآمدی حدود ۵ هزار دلار داشته باشند، این عدد هم یک «متوسط» است. به پرتکرارترین مقدار نما (mode) میگوییم.
پس برای یک پرسش ظاهراً ساده، سه جواب درست داریم:
- میانگین حسابی: ۱۵ هزار دلار؛
- میانه: ۳۵۰۰ دلار؛
- نما: ۵ هزار دلار.
در گفتار روزمره ممکن است هر سه را «متوسط» بنامیم. در زبان دقیقتر، میانگین حسابی، میانه و نما سه شاخص مرکز متفاوتاند. هر سه خلاصهای از همان دادهها هستند، اما هرکدام به پرسش دیگری جواب میدهند.
سه جواب درست به سه پرسش متفاوت
برای دیدن تفاوت، حقوق ماهانهی ده نفر را در یک شرکت فرضی در نظر بگیریم. عددها برحسب میلیون توماناند:
۳۰، ۳۰، ۳۰، ۳۵، ۴۰، ۴۵، ۵۰، ۶۰، ۷۰، ۴۰۰
اگر همه را جمع کنیم و بر ده تقسیم کنیم، میانگین حسابی ۷۹ میلیون تومان میشود.
برای یافتن میانه، عددها را که از کوچک به بزرگ مرتب شدهاند به دو نیم تقسیم میکنیم. دو عدد وسط ۴۰ و ۴۵ هستند، پس میانه ۴۲٫۵ میلیون تومان است.
نما نیز پرتکرارترین مقدار است: ۳۰ میلیون تومان.
همان ده حقوق (برحسب میلیون تومان) روی یک خط. میانگین حسابی از نُه نفر از ده نفر بالاتر ایستاده است — فقط بهخاطر یک نقطهی دور.
| شاخص | مقدار | پرسشی که پاسخ میدهد |
|---|---|---|
| میانگین حسابی | ۷۹ میلیون تومان | اگر مجموع پرداختی میان همه بهطور مساوی تقسیم میشد، سهم هر نفر چقدر بود؟ |
| میانه | ۴۲٫۵ میلیون تومان | حقوق کسی که در میانهی کارکنان ایستاده چقدر است؟ |
| نما | ۳۰ میلیون تومان | رایجترین حقوق در این شرکت چیست؟ |
حال شرکت میتواند در آگهی استخدامش بنویسد «متوسط حقوق کارکنان ما ۷۹ میلیون تومان است». عدد را جعل نکرده و تقسیم را هم درست انجام داده است. بااینحال، ۹ نفر از ۱۰ نفر کمتر از این «متوسط» حقوق میگیرند.
این جمله تناقض نیست. میانگین حسابی نقطهای نیست که لزوماً نیمی از دادهها در هر سوی آن قرار بگیرند. یک مقدار بسیار بزرگ میتواند آن را به سمت خود بکشد، بیآنکه وضعیت بیشتر افراد تغییر کرده باشد.
چگونه تقریباً همه زیر متوسط میمانند؟
برای ویژگیهایی مانند قد بزرگسالان، میانگین حسابی، میانه و نما معمولاً چندان از هم دور نیستند. بیشتر قدها اطراف یک مقدار مرکزی جمع شدهاند و آدمهایی با قد ده یا صد برابر دیگران نداریم.
درآمد چنین رفتاری ندارد. درآمد از پایین به صفر محدود است، اما در بالا میتواند دهها یا صدها برابر شود. تعداد زیادی از مردم در بخش پایین و میانی توزیع قرار میگیرند و چند درآمد بسیار بزرگ، دنبالهای بلند در سمت راست میسازند. آماردانها چنین توزیعی را چوله (skewed) مینامند. در یک توزیع متقارن و تکقله، میانگین حسابی، میانه و نما معمولاً روی هم میافتند یا به هم نزدیکاند؛ در توزیع چوله، میانگین حسابی به سمت دنباله کشیده میشود.۲
در توزیع چوله سه شاخص مرکز به هم نمیچسبند: نما معمولاً روی قله میماند، میانه کمی جلوتر میرود و میانگین حسابی را دنبالهی بلند با خود میکشد.
البته این به آن معنا نیست که مقدار بزرگ را باید حذف کنیم. حقوق ۴۰۰ میلیونی در مثال ما ممکن است کاملاً واقعی باشد و اگر میخواهیم کل هزینهی حقوق شرکت را محاسبه کنیم، حذف آن اشتباه است. نکته این است که یک عدد واحد نمیتواند همزمان به همهی پرسشها جواب بدهد.
اگر میپرسیم «شرکت در مجموع برای هر نفر چقدر هزینه میکند؟»، میانگین حسابی مفید است. اگر میپرسیم «یک کارمند معمولی چقدر میگیرد؟»، احتمالاً میانه تصویر بهتری میدهد. اگر میخواهیم رایجترین سطح حقوق را بدانیم، نما به کار میآید.
پس میانه ذاتاً صادقتر از میانگین حسابی نیست. ابتدا باید پرسش را انتخاب کنیم و بعد شاخص مناسب آن را.
خلبان متوسطی که وجود نداشت
گاهی متوسط نهفقط تصویری ناقص، بلکه انسانی خیالی میسازد.
در سال ۱۹۵۰ نیروی هوایی آمریکا اندازههای بدنی بیش از چهار هزار نیروی پرواز را ثبت کرد. دو سال بعد، گیلبرت دنیلز دادههای ۴۰۶۳ نفر از آنها را بررسی کرد تا ببیند «مرد متوسط»ی که بسیاری از طراحیها بر اساس او انجام میشد، واقعاً چه شکلی است.۳
دنیلز ده اندازهی بدنی مهم را انتخاب کرد؛ از جمله قد، دور سینه و طول آستین. برای هر اندازه نیز تعریف سخاوتمندانهای از «تقریباً متوسط» در نظر گرفت: نه دقیقاً برابر میانگین، بلکه قرارگرفتن در بازهای نزدیک به آن که حدود ۲۵ تا ۳۰ درصد میانی افراد را در بر میگرفت.
از ۴۰۶۳ نفر، ۱۰۵۵ نفر قدی تقریباً متوسط داشتند. وقتی شرط دور سینه نیز اضافه شد، فقط ۳۰۲ نفر باقی ماندند. با اضافهشدن طول آستین، تعداد به ۱۴۳ نفر رسید. هر اندازهی تازه عدهای را حذف کرد؛ تا شرط نهم دو نفر دوام آوردند و شرط دهم، تعداد خلبانانی را که در هر ده ویژگی «متوسط» بودند به این عدد رساند:
صفر.
هر شرط تازه، تعریفِ «متوسط» را سختگیرانهتر نمیکند؛ فقط چند شرطِ بهتنهایی آسان را با هم میخواهد. همین کافی است تا آخرِ فهرست خالی بماند.
میانگین قد واقعی بود، میانگین دور سینه هم واقعی بود و میانگین طول دست نیز درست محاسبه شده بود؛ اما انسانی که همهی این میانگینها را یکجا داشته باشد، در آن جمعیت وجود نداشت. دنیلز در گزارش فنی خود نوشت «مرد متوسط» برای طراحی مفهومی گمراهکننده است، بهویژه وقتی چند بُعد را همزمان در نظر میگیریم.
این تفاوت مهمی است میان متوسطِ ویژگیها و ویژگیهای یک فرد واقعی. اگر صندلی، لباس یا کابین را با کنار هم گذاشتن میانگین تکتک ابعاد بسازیم، ممکن است محصول نهایی دقیقاً مناسب هیچکس نباشد. راهحل، طراحی برای یک شبح آماری نیست؛ باید دامنهی تفاوتها را ببینیم و تا جای ممکن امکان تنظیمکردن را فراهم کنیم.
همین خطا در طراحی محصول دیجیتال هم رخ میدهد. «کاربر متوسط» ممکن است ۳۲ ساله باشد، ماهی ۱٫۷ بار خرید کند، بیشتر با تلفن همراه وارد شود و متوسط هر نشستش ۴ دقیقه باشد. همهی این عددها میتوانند درست باشند، اما معلوم نیست حتی یک کاربر واقعی همهی آنها را با هم داشته باشد. برای طراحی، معمولاً شناختن چند الگوی رفتاری واقعی و دیدن دامنهی نیازها از ساختن یک شخصیت متوسط مفیدتر است.
وقتی متوسطِ دو نرخ ۵۰ درصد است، اما نرخ کل ۲ درصد
یکی از خطاهای رایج در گزارشهای کاری، متوسطگرفتن از متوسطها یا درصدهاست؛ بیآنکه اندازهی گروهها را در نظر بگیریم.
فروشگاهی را در نظر بگیرید که نرخ تبدیل روزانهاش را گزارش میکند:
| روز | بازدیدکننده | خریدار | نرخ تبدیل |
|---|---|---|---|
| روز نخست | ۱۰ | ۱۰ | ۱۰۰٪ |
| روز دوم | ۹۹۰ | ۱۰ | حدود ۱٪ |
اگر نرخ تبدیل دو روز را با هم متوسط بگیریم، به حدود ۵۰٫۵ درصد میرسیم. اما در مجموع ۲۰ نفر از ۱۰۰۰ بازدیدکننده خرید کردهاند؛ پس نرخ تبدیل کل دوره فقط ۲ درصد است.
کدام عدد درست است؟ باز هم هر دو، اما واحد تحلیلشان فرق دارد. عدد ۵۰٫۵ درصد به هر روز وزن برابر میدهد؛ انگار روزی با ۱۰ بازدیدکننده بهاندازهی روزی با ۹۹۰ بازدیدکننده اهمیت دارد. عدد ۲ درصد به هر بازدیدکننده وزن برابر میدهد.
اگر روزی را با احتمال برابر از میان روزهای دوره انتخاب کنیم، متوسط نرخهای روزانه به پرسش ما پاسخ میدهد؛ هرچند با دو روز داده این پاسخ بسیار بیثبات است. اگر میپرسیم «چه سهمی از کل بازدیدکنندگان خرید کردند؟»، باید شمار خریداران را بر شمار کل بازدیدکنندگان تقسیم کنیم.
قاعدهی ساده این است:
از متوسط گروهها دوباره متوسط نگیرید، مگر اندازهی گروهها برابر باشد یا عمداً بخواهید به هر گروه وزن یکسان بدهید.
برای ترکیب گروههایی با اندازههای متفاوت، متوسط هر گروه باید بهاندازهی جمعیت همان گروه وزن بگیرد. همین نکته در متوسط نمرهی چند کلاس، رضایت کارکنان چند تیم، نرخ خطای چند سرور و نرخ تبدیل چند روز بارها فراموش میشود.
اینجا نیز انتخاب وزن یک تصمیم خنثی نیست. اگر رضایت «هر تیم» برایمان مهم است، شاید به تیم دهنفره و تیم صدنفره وزن برابر بدهیم. اگر رضایت «هر کارمند» را میخواهیم، وزن تیم صدنفره باید ده برابر باشد. پیش از محاسبه باید روشن کنیم چه چیزی قرار است یک رأی داشته باشد: گروه یا فرد؟
یک نمونه در پایش سیستمهای نرمافزاری
برای سنجش سلامت یک سرویس، معمولاً سهم درخواستهای موفق را در پنجرههای کوتاه — مثلاً پنجدقیقهای — حساب میکنند؛ پرسوجوی (query) آن در پرومتئوس (Prometheus) چیزی شبیه این است:
sum(rate(http_requests_total{status!~"5.."}[5m]))
/
sum(rate(http_requests_total[5m]))
این پرسوجو برای پرسش «سرویس همین حالا چه حالی دارد؟» درست است. مشکل از جایی آغاز میشود که بازهی داشبورد گرافانا (Grafana) را روی «هفتهی گذشته» بگذاریم و نرخ پاسخگویی (availability) هفته را از «میانگین» همین نمودار بخوانیم: برای یک هفته، گرافانا حدود دو هزار نسبتِ پنجدقیقهای از پرومتئوس میگیرد و از آنها میانگین ساده میگیرد. هر پنجره یک رأی؛ نیمهشبِ خلوت هموزنِ ساعتِ اوج.
خرابی هم بیطرف نیست: سرویس معمولاً درست وقتی کم میآورد که بار سنگین است. یعنی پنجرههای بد همان پنجرههاییاند که باید بیشترین وزن را میگرفتند — و کمترین را گرفتهاند. فرض کنید در دو درصد از زمان هفته، یک غروبِ شلوغ، سرویس زیر بار کم آورده و فقط به نیمی از درخواستها پاسخ داده؛ اما همان پنجرهها یکپنجم کل درخواستهای هفته را در خود دارند. میانگین پنجرهها ۹۹ درصد میشود و سهم واقعی درخواستهای موفق ۹۰ درصد: داشبورد هدفِ ۹۹ درصدی را برآورده نشان میدهد، درحالیکه از هر ده درخواست یکی شکست خورده است.
خرابی دو درصدِ زمانِ هفته را گرفت و یکپنجمِ درخواستها را. عدد ۹۹ به هر پنجره یک رأی میدهد؛ عدد ۹۰ به هر درخواست.
چاره همان قاعدهی این برگه است: از نسبتها میانگین نگیریم؛ صورت و مخرج را جداگانه روی کل بازه جمع کنیم و یک بار تقسیم کنیم:
sum(increase(http_requests_total{status!~"5.."}[$__range]))
/
sum(increase(http_requests_total[$__range]))
$__range همان بازهای است که در داشبورد انتخاب شده است. اکنون هر درخواست یک رأی دارد، نه هر پنجره. و اگر پرسش واقعاً سهمِ زمان باشد — «چند درصد از وقتها سرویس در دسترس بود؟» — همان میانگینِ زمانی پاسخ درست است. مثل همیشه: اول پرسش، بعد پرسوجو.
وقتی کل، خلافِ جزءها حرف میزند
گاهی وزن گروهها فقط عدد نهایی را کمی جابهجا نمیکند؛ ممکن است جهت نتیجه را هم عوض کند.
در سال ۱۹۷۳، در نگاه نخست آمار پذیرش تحصیلات تکمیلی دانشگاه برکلی نشانهای روشن از تبعیض جنسیتی به نظر میرسید. از میان ۸۴۴۲ متقاضی مرد، حدود ۴۴ درصد پذیرفته شده بودند؛ اما از ۴۳۲۱ متقاضی زن، فقط حدود ۳۵ درصد.۴ اگر فقط سطر «کل دانشگاه» را ببینیم، نتیجه تقریباً آماده است.
اما پژوهشگران دادهها را به تفکیک دانشکدهها و گروههای آموزشی بررسی کردند. در شش گروه بزرگ دانشگاه، تصویر چنین بود:
| گروه | پذیرش مردان | پذیرش زنان |
|---|---|---|
| A | ۶۲٪ | ۸۲٪ |
| B | ۶۳٪ | ۶۸٪ |
| C | ۳۷٪ | ۳۴٪ |
| D | ۳۳٪ | ۳۵٪ |
| E | ۲۸٪ | ۲۴٪ |
| F | ۶٪ | ۷٪ |
این شش گروه، بزرگترین گروههای دانشگاهاند و همهی متقاضیان را در بر نمیگیرند؛ دو درصدِ ۴۴ و ۳۵ مربوط به کل دانشگاهاند. اما همین شش گروه برای دیدن ماجرا کافیاند: در چهار گروه از این شش گروه، نرخ پذیرش زنان بالاتر بود. پس چگونه نرخ کل آنان پایینتر درآمده بود؟ زنان بیشتر برای گروههایی درخواست داده بودند که برای همه—زن و مرد—رقابتیتر و کمپذیرشتر بودند؛ درحالیکه مردان بیشتر به گروههایی درخواست داده بودند که نرخ پذیرش بالاتری داشتند. نرخ کل هر جنس، متوسطی وزنی از نرخ گروهها بود، اما وزنها برای زنان و مردان یکسان نبود.
همان شش گروه، این بار برحسب اینکه هر جنس بیشتر کجا درخواست داده است. تیرگی هر تکه، دشواری پذیرش آن گروه را نشان میدهد؛ نرخ پذیرش هر جنس، متوسطی وزنی از همین تکههاست.
این پدیده را پارادوکس سیمپسون (Simpson’s Paradox) مینامند: رابطهای که در دادهی تجمیعشده میبینیم، ممکن است پس از جداکردن یک عامل مهم کمرنگ شود یا حتی جهتش عوض شود. عامل پنهان در اینجا گروه آموزشی است؛ هم با جنسیت متقاضیان ارتباط دارد و هم با احتمال پذیرش.
البته شکستن جدول به گروهها نیز خودبهخود پاسخ اخلاقی یا علّی نهایی را به ما نمیدهد. از این داده نمیتوان نتیجه گرفت که هیچ نابرابری جنسیتیای وجود نداشته است. نویسندگان همان پژوهش استدلال کردند که هدایت اجتماعی و آموزشیِ پیشین، زنان را بیشتر به رشتههای شلوغتر و کمبرخوردارتر سوق داده بود. ممکن است تبعیض از درِ اتاق پذیرش بیرون رفته باشد، اما پیشتر در انتخابهای در دسترس، آموزش و انتظارات اجتماعی اثر گذاشته باشد.
درس آماری ما سادهتر و درعینحال عمیق است: «نرخ کل» همیشه خاصیت طبیعی یک گروه نیست؛ ترکیبی است از عملکرد زیرگروهها و اینکه هر گروه با چه وزنی در کل حضور دارد. هرگاه یک آمار کلی دربارهی قبولی، بیکاری، بیماری، بازده شعب یا عملکرد کارکنان دیدیم، باید بپرسیم اگر داده را برحسب سن، منطقه، نوع شغل، واحد سازمانی یا شدت مسئله بشکنیم، داستان همان میماند؟
میانگین حسابی تنها بازیگر این میدان نیست
هاف از میانگین حسابی، میانه و نما حرف میزند، اما خانوادهی متوسطها به همین سه عضو محدود نیست. نوع درست متوسط به این بستگی دارد که مقدارها چگونه با یکدیگر ترکیب میشوند.
سرعت متوسطی که ۵۰ نیست
فرض کنید در مسیری ۶۰ کیلومتری با سرعت ۶۰ کیلومتر بر ساعت میرویم و همان راه را با سرعت ۴۰ کیلومتر بر ساعت برمیگردیم. متوسط حسابی دو سرعت ۵۰ است. آیا سرعت متوسط کل سفر نیز ۵۰ کیلومتر بر ساعت بوده است؟
رفت یک ساعت طول کشیده و برگشت یک ساعت و نیم. در مجموع ۱۲۰ کیلومتر را در ۲٫۵ ساعت پیمودهایم؛ پس سرعت متوسط واقعی ۴۸ کیلومتر بر ساعت است.
دلیل خطا این است که مدت بیشتری را با سرعت کمتر گذراندهایم. برای سرعت در مسافتهای برابر، متوسط مناسب میانگین هارمونیک است. لازم نیست فرمولش را حفظ کنیم؛ کافی است به تعریف سرعت برگردیم: مسافت کل تقسیم بر زمان کل.
سود متوسط ۲۵ درصدی که هیچ سودی نساخت
حالا صد میلیون تومان سرمایه را در نظر بگیرید. سال نخست ۱۰۰ درصد سود میکند و به ۲۰۰ میلیون میرسد. سال دوم ۵۰ درصد ضرر میکند و دوباره صد میلیون میشود.
میانگین حسابی بازده این دو سال مثبت ۲۵ درصد است:
(۱۰۰٪ − ۵۰٪) ÷ ۲ = ۲۵٪
اما سرمایه پس از دو سال دقیقاً سر جای اول است. نرخ رشد سالانهای که همین مسیر را بازسازی میکند صفر درصد است. برای رشدهای پیاپی باید ضریبهای رشد را در هم ضرب کنیم و از میانگین هندسی استفاده کنیم؛ چون رشد سال دوم روی مقدار باقیمانده از سال نخست اثر میگذارد.
این سه نمونه را میتوان در یک نقشهی کوچک خلاصه کرد:
| مسئله | چیزی که ترکیب میشود | متوسط مناسب |
|---|---|---|
| حقوق یا هزینهی افراد هموزن | مقدارها با هم جمع میشوند | میانگین حسابی |
| رشد و بازده در دورههای پیاپی | ضریبها در هم ضرب میشوند | میانگین هندسی |
| نرخ حرکت در مسافتهای برابر | زمانهای لازم با هم جمع میشوند | میانگین هارمونیک |
نامها از خود شهود کماهمیتترند. هرگاه کسی چند نرخ را متوسط گرفته است، میتوانیم یک قدم عقب برویم و بپرسیم: صورت و مخرج اصلی چه بودهاند؟ چه چیزی جمع میشود و چه چیزی در هم ضرب میشود؟ اغلب پاسخ درست از همانجا پیدا میشود.
نمونهای از مملکت خودمان
در سال ۱۴۰۳، مرکز آمار ایران متوسط درآمد اظهارشدهی سالانهی یک خانوار شهری را حدود ۳۴۳ میلیون تومان و متوسط هزینهی آن را حدود ۲۶۹ میلیون تومان برآورد کرد. خبرگزاری جمهوری اسلامی این نتایج را با این عنوان منتشر کرد: «درآمد خانوارهای ایرانی در سال ۱۴۰۳ از هزینهها سبقت گرفت.»۵
تفاضل دو عدد حدود ۷۴ میلیون تومان است. از نظر حسابی، این تفاضل همان متوسطِ مازاد درآمد خانوارهاست؛ اما آیا میتوان نتیجه گرفت یک خانوادهی معمولی ایرانی در آن سال ۷۴ میلیون تومان مازاد داشته یا بیشتر خانوادهها دخلشان از خرجشان بیشتر بوده است؟ نه.
یک مثال فرضی کافی است. ده خانواده را در نظر بگیرید که هرکدام سالانه ۲۵۰ میلیون تومان هزینه دارند. درآمد ۹ خانواده ۲۰۰ میلیون تومان و درآمد خانوادهی دهم ۱۶۰۰ میلیون تومان است. متوسط درآمد این ده خانواده ۳۴۰ میلیون و متوسط هزینهشان ۲۵۰ میلیون تومان است؛ یعنی روی کاغذ هر خانواده بهطور متوسط ۹۰ میلیون تومان مازاد دارد. در واقعیت، ۹ خانواده از ۱۰ خانواده با کسری ۵۰ میلیونی روبهرو هستند.
این مثال چیزی دربارهی توزیع واقعی درآمد در ایران ثابت نمیکند؛ فقط نشان میدهد آن دو میانگین برای نتیجهگیری دربارهی خانوادهی معمولی یا بیشتر خانوادهها کافی نیستند. برای فهم وضعیت خانوادهی معمولی، دستکم باید میانهی درآمد و هزینه، میانهی تفاضل این دو برای هر خانوار، سهم خانوارهای دارای کسری، تفاوت دهکها و اندازهی خانوار را هم بدانیم.
یک نکتهی دیگر نیز در تیتر گم میشود: رشد هزینهی ثبتشدهی خانوار همان تورم یا هزینهی ثابت نگهداشتن سطح زندگی نیست. ممکن است خانوادهای بهدلیل گرانی، گوشت کمتری بخرد یا از درمان و تفریح بزند و در نتیجه هزینهاش کمتر از تورم رشد کند. کاهش مصرف را نمیتوان بهسادگی بهبود قدرت خرید نامید.
گزارش آماری میتواند در جدولها دقیق و محتاط باشد و فریب هنگام تبدیل آن به تیتر رخ دهد. اگر دولت یا رسانهی رسمی از تفاوت دو میانگین به تصویری کلی از بهبود معیشت برسد، نابرابری میان خانوادهها از تصویر حذف میشود. باز هم لازم نیست عددی دروغ باشد؛ کافی است متوسط مناسبی انتخاب شود و بیش از آنچه میگوید، از آن نتیجه بگیریم.
میانگین در تعریف یک آزمایش
همین مسئله را بارها در ارزیابی محصول و تعریف آزمایشها میبینیم. فرض کنید یک فروشگاه اینترنتی تغییری را روی دو گروه هزارنفره از کاربرانش آزمایش کرده است.
در گروه کنترل، صد نفر هرکدام ۱۰۰ هزار تومان خرید کردهاند. درآمد کل ۱۰ میلیون تومان و درآمد متوسط بهازای هر کاربر ۱۰ هزار تومان است.
در گروه آزمایش، پنجاه نفر هرکدام ۱۰۰ هزار تومان خرید کردهاند و یک مشتری بزرگ نیز ۱۰ میلیون تومان خرید کرده است. درآمد کل ۱۵ میلیون تومان و درآمد متوسط بهازای هر کاربر ۱۵ هزار تومان است.
اگر فعلاً عدمقطعیت آماری را کنار بگذاریم، عدد نقطهایِ میانگین درآمد ۵۰ درصد بهبود نشان میدهد. اما سهم خریداران از ۱۰ درصد به ۵ درصد رسیده است. میانهی درآمد نیز در هر دو گروه صفر است، چون بیشتر کاربران چیزی نخریدهاند.
کدام نتیجه درست است؟ هر سه.
اگر هدف دقیق آزمایش بیشینهکردن درآمد کوتاهمدت باشد، میانگین درآمد شاخص معناداری است و خرید بزرگ را نباید صرفاً بهدلیل بزرگبودن حذف کرد؛ البته برای اعلام موفقیت هنوز باید احتمال تصادفیبودن این تفاوت را هم بسنجیم. اگر هدف این باشد که افراد بیشتری محصول را بپذیرند و خرید کنند، نرخ تبدیل افت نگرانکنندهای را نشان میدهد. میانه هم در این مثال تقریباً هیچ اطلاعاتی نمیدهد.
خطا از جایی آغاز میشود که پس از دیدن نتیجه، میان شاخصها بگردیم و آن یکی را منتشر کنیم که موفقیت را نشان میدهد. بهتر است پیش از آغاز آزمایش روشن کنیم:
- تصمیم نهایی قرار است بر پایهی کدام شاخص گرفته شود؟
- چه شاخصهایی نقش محافظ دارند و نباید بدتر شوند؟
- و برای فهم توزیع، در کنار متوسط چه صدکها یا گروههایی را باید ببینیم؟
همان داده میتواند بگوید «درآمد ۵۰ درصد رشد کرد» یا «نیمی از خریداران را از دست دادیم». اختلاف این دو جمله در حساب نیست؛ در پرسشی است که تصمیم گرفتهایم پاسخ بدهیم.
وقتی هم میانگین خوب است و هم میانه، اما کاربران ناراضیاند
یک عدد مرکزی، حتی اگر درست انتخاب شده باشد، دربارهی پراکندگی دادهها چیز زیادی نمیگوید. این موضوع در زمان پاسخگویی سرویسها بهخوبی دیده میشود.
فرض کنید از صد درخواست، ۹۵ درخواست در یکدهم ثانیه پاسخ میگیرند و پنج درخواست ۱۰ ثانیه منتظر میمانند. میانهی زمان پاسخ همان یکدهم ثانیه است و میانگین نیز حدود ششدهم ثانیه میشود. هر دو عدد در نگاه اول قابلقبولاند؛ اما پنج درصد کاربران تجربهای بسیار بد داشتهاند.
برای دیدن چنین دنبالهای از توزیع، معمولاً صدکها را گزارش میکنیم. صدک ۵۰ همان میانه است. صدک ۹۹ میپرسد «۹۹ درصد درخواستها حداکثر چقدر منتظر ماندهاند؟» در مثال ما صدک ۹۹ به ۱۰ ثانیه میرسد و چیزی را آشکار میکند که میانگین و میانه هر دو کمرنگ کرده بودند.
در مهندسی قابلیت اطمینان، این تفاوت حیاتی است. راهنمای SRE گوگل صریحاً هشدار میدهد که میانگینگرفتن از زمان پاسخ جذاب به نظر میرسد، اما نکتهی مهمی را پنهان میکند: کاملاً ممکن است بیشتر درخواستها سریع باشند و دنبالهای بلند از درخواستها بسیار کندتر. پیشنهاد همان راهنما این است که صدکهای بالا، مانند ۹۹ یا ۹۹٫۹، هم دیده شوند.۶
این درس فقط برای سرورها نیست. متوسط زمان انتظار بیمارستان، متوسط زمان رسیدگی به شکایت، متوسط تأخیر پرواز یا متوسط زمان دریافت مجوز ممکن است قابلقبول باشد، درحالیکه گروه کوچکی روزها یا ماهها معطل میمانند. گاهی همین اقلیت، مهمترین بخش داستان است.
پس یک گزارش خوب تنها مرکز داده را نشان نمیدهد. دستکم سه چیز را از هم جدا میکند:
- مرکز: تجربهی معمول کجاست؟
- پراکندگی: تجربهها چقدر با هم فرق دارند؟
- دنباله: بدترین تجربههای معقول چقدر بدند؟
یک شاخص مرکزی میتواند پرسش نخست را پاسخ دهد، اما بهتنهایی برای دو پرسش دیگر ساخته نشده است.
بار بعد از یک «متوسط» چه بپرسیم؟
وقتی با جملهای شامل «میانگین» یا «بهطور متوسط» روبهرو میشویم، این پرسشها معمولاً از خود عدد مهمترند:
- کدام متوسط است — میانگین حسابی، میانه یا نما — و قرار است به چه پرسشی پاسخ بدهد؟
- دادهها متقارناند یا چند مقدار بسیار بزرگ یا کوچک نتیجه را میکشند؟
- چه کسانی در صورت و مخرج محاسبه حضور دارند؟
- اگر چند متوسط یا درصد با هم ترکیب شدهاند، اندازهی گروهها در وزن آنها لحاظ شده است؟ و اگر داده را به زیرگروههای معنادار بشکنیم، جهت نتیجه همان میماند؟
- مقدارها با هم جمع میشوند، در هم ضرب میشوند یا نسبتِ دو کمیتاند؟
- آیا برای فهم واقعیت یک عدد کافی است، یا باید پراکندگی، دهکها و صدکها را هم ببینیم؟
- در یک آزمایش، شاخص پیش از دیدن نتایج انتخاب شده یا پس از آن؟
هیچکدام از میانگین حسابی، میانه و نما دروغگو نیستند. دروغ، یا دستکم فریب، از جایی آغاز میشود که نام شاخص و پرسشی را که پاسخ میدهد پنهان کنیم و خلاصهی مناسب خودمان را بهجای تمام واقعیت بنشانیم.
پرسش درست این نیست که «متوسط چقدر است؟»؛ نخست باید پرسید «کدام متوسط، برای پاسخ به کدام سؤال؟»
تمرینها
تمرین ۱ — تثبیتِ ایده. حقوق ماهانهی هشت نفر، برحسب میلیون تومان، چنین است:
۲۵، ۲۵، ۳۰، ۳۰، ۳۰، ۳۵، ۴۰، ۱۸۵
میانگین حسابی، میانه و نما را پیدا کنید. کدام عدد برای توصیف حقوق یک کارمند معمولی مناسبتر است؟
پاسخ
میانگین حسابی ۵۰، میانه ۳۰ و نما نیز ۳۰ میلیون تومان است. برای برآورد هزینهی کل شرکت بهازای هر نفر، میانگین حسابی مفید است؛ اما برای توصیف حقوق معمول کارکنان، میانه و نما تصویر روشنتری میدهند. هفت نفر از هشت نفر کمتر از میانگین حسابی حقوق میگیرند.
تمرین ۲ — دو عدد، دو داستان. در نسخهی تازهی یک فرایند، زمان متوسط انجام کار از ۴۰ ثانیه به ۲۵ ثانیه کاهش یافته، اما میانه از ۱۰ ثانیه به ۲۰ ثانیه رسیده است. چگونه ممکن است هر دو درست باشند؟ آیا نسخهی تازه بهتر است؟
پاسخ
ممکن است نسخهی تازه انتظارهای بسیار طولانیِ چند کاربر را برطرف کرده، اما فرایند را برای بیشتر کاربران کندتر کرده باشد. میانگین بهبود انتهای بد توزیع را دیده و میانه بدترشدن تجربهی کاربر معمولی را. بدون دانستن هدف محصول و دیدن صدکهای زمان، نمیتوان حکم داد کدام نسخه بهتر است.