اعداد مختلط · برگهٔ ۵ از ۸

ریشه‌های یک عدد دلخواه

چندضلعیِ ریشه‌های واحد را بچرخان و کش بده

در یادداشت پیشین دیدیم که معادلهٔ $z^n = 1$ دقیقاً $n$ ریشه دارد و این ریشه‌ها رأس‌های یک $n$-ضلعی منتظم روی دایرهٔ واحدند. حالا پرسش کامل‌تر: برای یک عدد مختلطِ دلخواه و ناصفر $w$، معادلهٔ

$$z^n = w$$

چند جواب دارد و این جواب‌ها کجا نشسته‌اند؟ (مثل برگهٔ پیشین، $n$ عددی صحیح و مثبت است.)

---

پیش از ادامه، حدس بزنید. معادلهٔ $z^2 = i$ چند جواب دارد؟ روی صفحه کجا باید باشند؟

پاسخ

دو جواب، روی دایرهٔ واحد (چون طول $i$ برابر $1$ است). زاویهٔ $i$ برابر $\frac{\pi}{2}$ است، پس یکی از ریشه‌ها زاویهٔ $\frac{\pi}{4}$ دارد و دیگری درست روبه‌رویش: $\frac{\pi}{4} + \pi$. همین الگو را الان برای هر $w$ می‌سازیم.

باز هم نگاه قطبی

عدد $w$ را به صورت قطبی بنویسیم؛ طولش را $R$ و زاویه‌اش را $\varphi$ بنامیم:

$$w = R\,(\cos\varphi + i\,\sin\varphi)$$

اگر $z$ طول $r$ و زاویهٔ $\theta$ داشته باشد، $z^n$ طول $r^n$ و زاویهٔ $n\theta$ دارد. پس باید:

• طول: $r^n = R$؛ و چون طول عددی نامنفی است، تنها یک انتخاب داریم: $r = \sqrt[n]{R}$، همان ریشهٔ $n$-اُمِ حقیقی و مثبتِ $R$.
• زاویه: $z^n$ باید هم‌جهتِ $w$ باشد؛ و مانند یادداشت پیشین، هم‌جهت بودن یعنی برابریِ زاویه‌ها تا مضرب‌های کاملِ $2\pi$ — یک دورِ کاملِ اضافه چیزی را عوض نمی‌کند:

$$n\theta = \varphi + 2\pi k \quad\Longrightarrow\quad \theta = \frac{\varphi}{n} + \frac{2\pi k}{n}, \qquad k = 0,\, 1,\, \dots,\, n-1$$

مانند یادداشت پیشین، از $k = n$ به بعد زاویه‌ها تکرار می‌شوند. پس معادلهٔ $z^n = w$ نیز دقیقاً $n$ ریشه دارد: همه روی دایره‌ای به شعاع $\sqrt[n]{R}$، با فاصله‌های زاویه‌ایِ مساوی $\frac{2\pi}{n}$.

دو نکتهٔ کوچک، پیش از ادامه. نخست: خودِ $\varphi$ هم تا دورِ کامل مشخص بود؛ اگر به‌جای آن $\varphi + 2\pi$ را برمی‌داشتیم چه می‌شد؟ زاویهٔ ریشهٔ نخست $\frac{\varphi}{n} + \frac{2\pi}{n}$ می‌شد — یعنی همان ریشهٔ دومِ قبلی. فهرست ریشه‌ها ذره‌ای عوض نمی‌شود؛ فقط از جای دیگری شمرده می‌شود. دوم: چرا $w$ را از آغاز ناصفر خواستیم؟ چون صفر داستانی ندارد: عدد ناصفر طولِ ناصفر دارد و توانش هم ناصفر می‌ماند؛ پس $z^n = 0$ تنها یک ریشه دارد — خودِ صفر.

---

همان چندضلعی، چرخیده و کش‌آمده

نخستین ریشه ($k=0$) را $z_0$ بنامیم: عددی با طول $\sqrt[n]{R}$ و زاویهٔ $\frac{\varphi}{n}$. حالا به فرمول زاویه‌ها نگاه کنید: ریشهٔ $k$-اُم دقیقاً زاویهٔ $z_0$ به‌علاوهٔ $\frac{2\pi k}{n}$ را دارد و طولش هم همان طول $z_0$ است. اما «چرخاندن به اندازهٔ $\frac{2\pi k}{n}$ بدون تغییر طول» را خوب می‌شناسیم: این همان ضرب در $\omega^k$ است، که $\omega$ نخستین ریشهٔ $n$-اُم واحد است. پس:

$$z_k = z_0\, \omega^k, \qquad k = 0,\, 1,\, \dots,\, n-1$$

به زبان هندسی: ریشه‌های $w$، همان چندضلعیِ ریشه‌های واحدند که به اندازهٔ $\frac{\varphi}{n}$ چرخیده و به اندازهٔ $\sqrt[n]{R}$ کش آمده است. یک ریشه را پیدا کن؛ بقیه با دورانِ متوالی به دست می‌آیند.

آزمایشگاه: نقطهٔ $w$ را بکشید و $n$ را تغییر دهید؛ چندضلعیِ ریشه‌ها همراهش می‌چرخد و کش می‌آید.

n = 5

w = 1.40 + 1.60i |w| = 2.13 → |zₖ| = 1.16, n = 5

---

مثال: ریشه‌های سوم $8i$

عدد $w = 8i$ طول $R = 8$ و زاویهٔ $\varphi = \frac{\pi}{2}$ دارد. پس ریشه‌های سوم آن:

• طول: $\sqrt[3]{8} = 2$
• زاویه‌ها: $\dfrac{\pi/2}{3} = \dfrac{\pi}{6}$ و سپس با گام‌های $\dfrac{2\pi}{3}$: یعنی $\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6},\ \dfrac{3\pi}{2}$

$$z_0 = 2\left(\cos\tfrac{\pi}{6} + i\,\sin\tfrac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} + i$$ $$z_1 = 2\left(\cos\tfrac{5\pi}{6} + i\,\sin\tfrac{5\pi}{6}\right) = -\sqrt{3} + i$$ $$z_2 = 2\left(\cos\tfrac{3\pi}{2} + i\,\sin\tfrac{3\pi}{2}\right) = -2i$$

سه ریشهٔ سومِ $8i$: مثلث متساوی‌الاضلاعی روی دایره‌ای به شعاع $2$، با نخستین رأس در زاویهٔ $\frac{\pi}{6}$.

سنجشی سریع برای $z_2$، حتی بدون نگاه قطبی:

$$(-2i)^3 = (-2)^3\, i^3 = -8 \cdot (-i) = 8i \checkmark$$

---

حالت $n = 2$: ریشه‌های دوم

برای $n = 2$، دو ریشه زاویه‌های $\frac{\varphi}{2}$ و $\frac{\varphi}{2} + \pi$ دارند؛ یعنی درست در دو سوی مبدأ نشسته‌اند و قرینهٔ یکدیگرند: $z_0$ و $-z_0$.

مثلاً ریشه‌های دوم $-1$: عدد $-1$ طول ۱ و زاویهٔ $\pi$ دارد؛ پس ریشه‌هایش زاویه‌های $\frac{\pi}{2}$ و $\frac{3\pi}{2}$ دارند — یعنی $i$ و $-i$. جملهٔ مشهور «$i$ ریشهٔ دوم $-1$ است» یعنی همین؛ و البته $-i$ هم دقیقاً به همان اندازه سهم دارد.

---

تمرین‌ها

تمرین ۱. ریشه‌های سوم $-8$ را پیدا کنید.

پاسخ

عدد $-8$ طول $8$ و زاویهٔ $\pi$ دارد. پس ریشه‌ها طول $\sqrt[3]{8} = 2$ و زاویه‌های $\frac{\pi}{3},\ \pi,\ \frac{5\pi}{3}$ دارند:

$$1 + \sqrt{3}\,i, \qquad -2, \qquad 1 - \sqrt{3}\,i$$

(سنجش سریع: $(-2)^3 = -8$ ✓ — و دو ریشهٔ دیگر، قرینهٔ هم نسبت به محور حقیقی‌اند.)

تمرین ۲. برای $z^4 = 16$ یک بار با $\varphi = 0$ و یک بار با $\varphi = 2\pi$ فهرست ریشه‌ها را بنویسید و مقایسه کنید.

پاسخ

با $\varphi = 0$ زاویه‌ها $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$ می‌شوند: $2,\ 2i,\ -2,\ -2i$. با $\varphi = 2\pi$ زاویه‌ها $\frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$ می‌شوند: $2i,\ -2,\ -2i,\ 2$. همان مجموعه است — فقط از رأسِ دیگری شمرده شده. انتخابِ آرگومانِ $w$ در «مجموعهٔ» ریشه‌ها اثری ندارد.

یک قدم فراتر. ریشه‌های $z^4 = -16$ را ابتدا رسم، سپس محاسبه کنید.

پاسخ

رسم: چهار ریشه روی دایره‌ای به شعاع $\sqrt[4]{16} = 2$، و چون زاویهٔ $-16$ برابر $\pi$ است، نخستین ریشه در $\frac{\pi}{4}$ می‌نشیند؛ مربعی با رأس‌هایی روی نیمساز‌های چهار ربع. محاسبه:

$$\pm\sqrt{2} \pm \sqrt{2}\,i$$

(سنجش: $(\sqrt{2} + \sqrt{2}\,i)^2 = 4i$ و $(4i)^2 = -16$ ✓)

---

جمع‌بندی

• معادلهٔ $z^n = w$ برای هر $w$ ناصفر دقیقاً $n$ ریشه دارد: همه روی دایره‌ای به شعاع $\sqrt[n]{R}$ و با فاصله‌های زاویه‌ای مساوی.
• همهٔ ریشه‌ها از یکی ساخته می‌شوند: $z_k = z_0\,\omega^k$ — چندضلعیِ ریشه‌های واحد، چرخیده و کش‌آمده.
• در دستگاه اعداد مختلط، ریشه گرفتن هرگز به بن‌بست نمی‌خورد؛ هیچ عدد ناصفری «بی‌ریشه» نیست.

اکنون باید بتوانید… ریشه‌های $n$-امِ هر عدد ناصفر را اول رسم و بعد محاسبه کنید؛ از یک ریشه، بقیه را با ضرب در $\omega$ بسازید؛ توضیح دهید چرا انتخابِ آرگومانِ دیگری برای $w$ مجموعهٔ ریشه‌ها را عوض نمی‌کند؛ و بگویید چرا صفر تنها یک ریشه دارد.

این آخرین نکته، نخستین نشانه از حقیقتی بزرگ‌تر است: در صفحهٔ مختلط نه‌فقط $z^n - w$، که هر چندجمله‌ای درجهٔ $n \geq 1$ با ضرایب مختلط، با احتساب چندگانگی، دقیقاً $n$ ریشه دارد. قید چندگانگی لازم است، چون ریشه‌ها می‌توانند روی هم بیفتند: $(z-1)^2$ فقط یک ریشهٔ متمایز دارد — عدد $1$ — اما دوبار شمرده می‌شود. به این قضیه «قضیهٔ اساسی جبر» می‌گویند و شاید روزی یادداشتی از آنِ خود بگیرد.