یادداشت‌های فرکتالی
گام‌های کوچک در دل ساختارهای بزرگ ریاضی
اعداد مختلط برگهٔ ۳ از ۸

اندازه، آرگومان و صورت قطبی

هر عدد مختلط دو نشانی دارد؛ هنر، رفت‌وآمدِ بی‌خطا میان آن‌هاست

در برگه‌های پیشین دو زبان برای اعداد مختلط ساختیم. زبان دکارتی — z=x+y iz = x + y\,i — که برای جمع بی‌رقیب است؛ و زبان طول و زاویه، که ضرب را به «کشش و دوران» تبدیل می‌کند. تا این‌جا هر جا لازم شد، سرِ صحنه ترجمه کردیم. در این برگه می‌خواهیم این ترجمه را به مهارتی دقیق تبدیل کنیم — همراه با نام‌های رسمی‌اش.

صورت قطبی

عدد مختلط zz را با طول rr و زاویهٔ θ\theta در نظر بگیرید. قسمت حقیقی آن rcos⁡θr\cos\theta و قسمت موهومی آن rsin⁡θr\sin\theta است؛ پس:

z=r (cos⁡θ+i sin⁡θ)z = r\,(\cos\theta + i\,\sin\theta)

به این نمایش، صورت قطبی می‌گویند.

صورت قطبی: بردارِ به طول rr و زاویهٔ θ\theta، با مؤلفه‌های rcos⁡θr\cos\theta و rsin⁡θr\sin\theta.

دو مؤلفهٔ این نمایش نام رسمی دارند: طول rr را اندازه می‌نامند و ∣z∣\lvert z\rvert می‌نویسند؛ زاویهٔ θ\theta را آرگومان و arg⁡z\arg z می‌نویسند.

از قطبی به دکارتی رفتن همیشه سرراست است — دو تا مقدار مثلثاتی و تمام. مثلاً عددی با اندازهٔ 22 و آرگومان π6\frac{\pi}{6}:

2(cos⁡π6+i sin⁡π6)=3+i2\left(\cos\tfrac{\pi}{6} + i\,\sin\tfrac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} + i

راهِ برگشت — از x+y ix + y\,i به اندازه و آرگومان — است که مهارت می‌خواهد.

اندازه: قضیهٔ فیثاغورس

بردار z=x+y iz = x + y\,i وترِ مثلثی قائم‌الزاویه است که ضلع‌هایش xx و yy هستند؛ پس:

∣z∣=x2+y2\lvert z \rvert = \sqrt{x^2 + y^2}

مثلاً ∣1−3 i∣=1+3=2\lvert 1 - \sqrt{3}\,i \rvert = \sqrt{1 + 3} = 2. همین.

پیش از ادامه، حدس بزنید. آرگومانِ −2i-2i چیست؟ هیچ فرمولی لازم نیست — فقط جای عدد را در صفحه ببینید.

پاسخ

عدد −2i-2i روی محور عمودی، رو به پایین است: آرگومانش −π2-\frac{\pi}{2} است (یا هم‌ارز با آن، 3π2\frac{3\pi}{2}). اندازه‌اش هم 22. برای اعدادِ روی محورها، هیچ محاسبه‌ای لازم نیست.

آرگومان: دامِ آرکتانژانت

برای زاویه، وسوسه‌انگیزترین راه این است: از tan⁡θ=yx\tan\theta = \frac{y}{x} نتیجه بگیریم θ=arctan⁡yx\theta = \arctan\frac{y}{x}. اما این راه یک دام مشهور دارد.

تابع arctan⁡\arctan همیشه زاویه‌ای بین −π2-\frac{\pi}{2} و π2\frac{\pi}{2} برمی‌گرداند — یعنی فقط ربع اول و چهارم. اگر عدد ما در ربع دوم یا سوم باشد، جوابِ آرکتانژانت اشتباه است؛ چون yx\frac{y}{x} علامتِ جداگانهٔ xx و yy را فراموش می‌کند: نسبتِ −1−1\frac{-1}{-1} همان 11\frac{1}{1} است، اما نقطهٔ −1−i-1-i کجا و نقطهٔ 1+i1+i کجا!

مثال. آرگومان z=−1−iz = -1 - i را بیابیم. محاسبهٔ عجولانه می‌گوید arctan⁡−1−1=arctan⁡1=π4\arctan\frac{-1}{-1} = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}؛ اما π4\frac{\pi}{4} نشانیِ 1+i1+i است، در ربع اول. عدد ما در ربع سوم است؛ آرگومان درست:

θ=π+π4=5π4\theta = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}

راه امن دو قدم دارد:

  1. با علامت‌های xx و yy (یا یک شکل سردستی) تعیین کنید عدد در کدام ربع است.
  2. زاویهٔ مثلثِ قائم‌الزاویه را حساب کنید و آن را در ربع درست بنشانید.

و اگر عدد روی یکی از محورها باشد، به هیچ محاسبه‌ای نیاز نیست: 2i2i آرگومان π2\frac{\pi}{2} دارد، −3-3 آرگومان π\pi، و 1−3 i1 - \sqrt{3}\,i (ربع چهارم، مثلثی با ضلع‌های 11 و 3\sqrt{3}) آرگومان −π3-\frac{\pi}{3}.

آرگومان یک عدد نیست؛ یک خانواده است

نکته‌ای که در برگهٔ نخست دیدیم، این‌جا صورتِ دقیق پیدا می‌کند: θ\theta و θ+2π\theta + 2\pi یک جهت را نشان می‌دهند. پس اگر θ\theta آرگومانِ zz باشد، همهٔ زاویه‌های

θ+2πk,k∈Z\theta + 2\pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}

هم آرگومانِ zz هستند: در مثال بالا، 5π4\frac{5\pi}{4} و −3π4-\frac{3\pi}{4} هر دو نشانیِ درستِ −1−i-1-i هستند. برای یکدست شدن، معمولاً یک نماینده قرارداد می‌شود — بازهٔ [0,2π)[0, 2\pi) یا بازهٔ (−π,π](-\pi, \pi]، هر دو رایج‌اند. قرارداد فقط انتخابِ نماینده است؛ خودِ خانواده همیشه سرِ جایش است و در برگه‌های بعد، جایی که ریشه می‌گیریم، نقشِ اصلی را همین خانواده بازی می‌کند.

و عدد صفر؟ اندازه‌اش صفر است و صورت قطبی‌اش r=0r = 0؛ آن‌جا θ\theta هر چه باشد به همان نقطه می‌رسیم — صفر آرگومان ندارد و لازم هم ندارد.

هدیهٔ پایانی: اتحادهای مثلثاتی، رایگان

حالا که صورت قطبی در دست است، دو عدد با اندازهٔ ۱ بردارید:

uα=cos⁡α+i sin⁡α,uβ=cos⁡β+i sin⁡βu_\alpha = \cos\alpha + i\,\sin\alpha, \qquad u_\beta = \cos\beta + i\,\sin\beta

و حاصل‌ضربشان را از دو راه حساب کنید.

راه هندسی: طول‌ها 1×1=11 \times 1 = 1 و زاویه‌ها α+β\alpha + \beta؛ پس حاصل، عددی است با اندازهٔ ۱ و آرگومان α+β\alpha+\beta:

uα uβ=cos⁡(α+β)+i sin⁡(α+β)u_\alpha\, u_\beta = \cos(\alpha+\beta) + i\,\sin(\alpha+\beta)

راه جبری (با قاعدهٔ ضربِ برگهٔ پیشین):

uα uβ=(cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β)+i (sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β)u_\alpha\, u_\beta = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + i\,(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)

این دو باید یکی باشند؛ قسمت حقیقی با قسمت حقیقی و قسمت موهومی با قسمت موهومی برابر است:

cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta

اتحادهای جمعِ زاویه‌ها — که حفظ‌کردنشان همیشه دردسر دارد — این‌جا خودشان از دلِ ضرب مختلط بیرون آمدند. (اگر α=β\alpha = \beta بگذارید، اتحاد دوبرابرِ زاویه به‌دست می‌آید؛ همان که در یادداشت مثلثات از راهی دیگر به آن رسیدیم.)

تمرین‌ها

تمرین ۱. صورت قطبی −1+i-1 + i را بنویسید.

پاسخ

اندازه: 1+1=2\sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}. عدد در ربع دوم است و مثلثش دو ضلع برابر دارد، پس زاویهٔ مرجع ۴۵ درجه است و آرگومان π−π4=3π4\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}:

−1+i=2(cos⁡3π4+i sin⁡3π4)-1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\tfrac{3\pi}{4} + i\,\sin\tfrac{3\pi}{4}\right)

تمرین ۲. عددی با اندازهٔ 44 و آرگومان 2π3\frac{2\pi}{3} را به صورت x+y ix + y\,i بنویسید.

پاسخ 4(cos⁡2π3+i sin⁡2π3)=4(−12+i 32)=−2+23 i4\left(\cos\tfrac{2\pi}{3} + i\,\sin\tfrac{2\pi}{3}\right) = 4\left(-\tfrac{1}{2} + i\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -2 + 2\sqrt{3}\,i

یک قدم فراتر. اگر آرگومان zz برابر θ\theta باشد، آرگومان −z-z چیست؟ بی‌فرمول جواب دهید.

پاسخ

ضرب در −1-1 یعنی نیم‌دور چرخیدن؛ پس آرگومانِ −z-z برابر θ+π\theta + \pi است (تا دورِ کامل). دقت کنید جوابِ «−θ-\theta» اشتباه است — آن یکی، آرگومانِ بازتابِ zz در آینهٔ محور حقیقی است که در برگهٔ مزدوج به آن می‌رسیم.

جمع‌بندی

  • صورت قطبی: z=r (cos⁡θ+i sin⁡θ)z = r\,(\cos\theta + i\,\sin\theta)؛ به rr اندازه و به θ\theta آرگومان می‌گویند.
  • اندازه از فیثاغورس می‌آید: ∣z∣=x2+y2\lvert z\rvert = \sqrt{x^2 + y^2}.
  • برای آرگومان، آرکتانژانتِ تنها کافی نیست؛ اول ربع، بعد زاویه.
  • آرگومان یک خانواده است: θ+2πk\theta + 2\pi k؛ قراردادها فقط نماینده برمی‌گزینند — و صفر آرگومان ندارد.
  • از مقایسهٔ دو راهِ محاسبهٔ یک ضرب، اتحادهای جمع زاویه‌ها به‌رایگان به‌دست آمدند.

اکنون باید بتوانید… اندازهٔ هر عدد را با فیثاغورس بگیرید؛ آرگومان را با تشخیصِ ربع پیدا کنید و بگویید چرا آرکتانژانتِ تنها کافی نیست؛ همهٔ آرگومان‌های یک عدد را بنویسید؛ و بین دو نمایش، در هر دو جهت، روان ترجمه کنید.

با این مهارت در دست، آماده‌ایم از ضرب کار بکشیم: در برگهٔ بعد می‌بینیم توان‌رساندن، قدم‌زدن روی دایره است — و معادلهٔ zn=1z^n = 1 شکلی دارد که انتظارش را ندارید.