اعداد مختلط · برگهٔ ۶ از ۸

مزدوج، قدر مطلق و تقسیم

آخرین قطعهٔ حساب: تقسیم هم دوران است — فقط در جهت برعکس

در یادداشت‌های پیشین برای اعداد مختلط جمع، ضرب، توان و ریشه ساختیم و همه معنایی هندسی داشتند. یک عمل هنوز مانده است: تقسیم. برای آن به دوست تازه‌ای نیاز داریم که خودش هم تصویری زیبا دارد: مزدوج.

---

مزدوج: بازتاب در آینهٔ محور حقیقی

برای عدد مختلط $z = x + y\,i$، مزدوجِ آن را چنین تعریف می‌کنیم:

$$\bar{z} = x - y\,i$$

از نگاه هندسی، $\bar{z}$ چیزی نیست جز بازتاب $z$ نسبت به محور حقیقی: طول بردار همان می‌ماند و زاویه از $\theta$ به $-\theta$ می‌رود.

مزدوج: بازتابِ $z$ در آینهٔ محور حقیقی — همان طول، زاویهٔ قرینه.

چند مشاهدهٔ فوری:

• عدد $z$ حقیقی است اگر و تنها اگر $\bar{z} = z$؛ یعنی بازتابش خودش باشد.
• مزدوجِ مزدوج، خودِ عدد است: بازتابِ بازتاب.
• جمعِ عدد با مزدوجش همیشه حقیقی است: $z + \bar{z} = 2x$.

---

اتحاد کلیدی: $z\,\bar{z} = \lvert z \rvert^2$

قدر مطلق (همان طول بردار) را مثل همیشه $\lvert z\rvert$ می‌نویسیم. حالا حاصل‌ضرب $z\,\bar{z}$ را از دو راهِ آشنا حساب کنیم:

• هندسی: طول‌ها ضرب می‌شوند: $r \times r = r^2$؛ زاویه‌ها جمع می‌شوند: $\theta + (-\theta) = 0$. پس حاصل، عددی حقیقی و نامنفی است به اندازهٔ $r^2$.
• جبری: $(x + y\,i)(x - y\,i) = x^2 - (y\,i)^2 = x^2 + y^2$.

$$z\,\bar{z} = x^2 + y^2 = \lvert z \rvert^2$$

دو راه، یک جواب — و در ضمن تساویِ $x^2 + y^2 = r^2$ چیزی جز قضیهٔ فیثاغورس نیست که خودش را در دل حساب مختلط جا کرده است.

---

پیش از ادامه، حدس بزنید. $\dfrac{1}{i}$ چیست؟ به زبان دوران فکر کنید: چه عددی، اثرِ «ضرب در $i$» را خنثی می‌کند؟

پاسخ

ضرب در $i$ یعنی چرخش $+90$ درجه؛ خنثی‌کننده‌اش چرخش $-90$ درجه با طول $1$ است: یعنی $-i$. سنجش: $i \cdot (-i) = -i^2 = 1$ ✓

وارون و تقسیم

تقسیم بر $z$ یعنی ضرب در وارونِ آن؛ پس کافی است $\frac{1}{z}$ را بشناسیم: عددی که ضربش در $z$ برابر ۱ شود. نگاه هندسی جواب را لو می‌دهد: باید کششِ $r$ را با کششِ $\frac{1}{r}$ و چرخشِ $\theta$ را با چرخشِ $-\theta$ خنثی کنیم. پس $\frac{1}{z}$ عددی است با طول $\frac{1}{r}$ و زاویهٔ $-\theta$.

اما عددی با زاویهٔ $-\theta$ همین حالا در آستین داریم: مزدوج! فقط طولش $r$ است، نه $\frac{1}{r}$. چاره‌اش ساده است: بر عدد حقیقیِ مثبتِ $r^2$ تقسیمش کنیم — و تقسیم بر عدد حقیقی مثبت را از قبل بلدیم؛ کششی ساده است که فقط طول را تغییر می‌دهد:

$$\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{\lvert z \rvert^2}, \qquad z \neq 0$$

سنجش: $z \cdot \dfrac{\bar{z}}{\lvert z\rvert^2} = \dfrac{z\,\bar{z}}{\lvert z\rvert^2} = \dfrac{\lvert z\rvert^2}{\lvert z\rvert^2} = 1$ ✓

و تقسیم دو عدد دلخواه:

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1\,\bar{z}_2}{\lvert z_2 \rvert^2}, \qquad z_2 \neq 0$$

این همان ترفند مدرسه‌ای «صورت و مخرج را در مزدوجِ مخرج ضرب کن» است — که حالا می‌دانیم چرا کار می‌کند: این ضرب، مخرج را به یک عدد حقیقی مثبت تبدیل می‌کند و تقسیم بر عدد حقیقی چیزی جز تغییر طول نیست.

معنای هندسی تقسیم هم از همین‌جا بیرون می‌آید:

طولِ خارج‌قسمت، نسبتِ طول‌هاست و زاویه‌اش، تفاضلِ زاویه‌ها. تقسیم، دورانِ وارونه است.

تقسیم به روایت تصویر: $\frac{z_1}{z_2}$ طولی برابرِ نسبتِ طول‌ها و زاویه‌ای برابرِ $\theta_1 - \theta_2$ دارد؛ ضربِ دوباره در $z_2$، آن را به $z_1$ برمی‌گرداند.

---

مثال

$$\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1 + 2i + i^2}{1^2 + 1^2} = \frac{2i}{2} = i$$

سنجش هندسی: عدد $1+i$ طول $\sqrt{2}$ و زاویهٔ $\frac{\pi}{4}$ دارد و عدد $1-i$ طول $\sqrt{2}$ و زاویهٔ $-\frac{\pi}{4}$. پس خارج‌قسمت باید طول $\frac{\sqrt2}{\sqrt2} = 1$ و زاویهٔ $\frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2}$ داشته باشد: عددی با طول ۱، مستقیم رو به بالا — یعنی $i$. ✓

---

هدیهٔ پایانی: حاصل‌ضرب دو «مجموعِ دو مربع»

از تعریف هندسی ضرب می‌دانیم طول‌ها ضرب می‌شوند: $\lvert z_1 z_2\rvert = \lvert z_1\rvert\,\lvert z_2\rvert$. حالا دو طرف را به توان دو برسانیم و همه‌چیز را به زبان مختصات بنویسیم. اگر $z_1 = x_1 + y_1\,i$ و $z_2 = x_2 + y_2\,i$ باشند، از یادداشت پل جبر و هندسه می‌دانیم:

$$z_1 z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + (x_1 y_2 + x_2 y_1)\,i$$

پس تساوی $\lvert z_1 z_2\rvert^2 = \lvert z_1\rvert^2 \lvert z_2\rvert^2$ چنین ترجمه می‌شود:

$$(x_1^2 + y_1^2)(x_2^2 + y_2^2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2)^2 + (x_1 y_2 + x_2 y_1)^2$$

یعنی: حاصل‌ضرب دو عددی که هر یک مجموعِ دو مربع‌اند، خودش مجموعِ دو مربع است — اتحادی کهن که به نام برهماگوپتا–فیبوناچی شناخته می‌شود و در نظریهٔ اعداد نقشی مهم دارد. اثبات مستقیمش با باز کردن پرانتزها کمی حوصله می‌خواهد؛ اما در زبان اعداد مختلط، این فقط جملهٔ سادهٔ «طول‌ها ضرب می‌شوند» است که به زبان مختصات ترجمه شده.

---

چند مشاهده برای خودتان

سه ادعای زیر را خودتان بسنجید — هر سه، با همان دو نگاهِ آشنای جبری و هندسی، چند خط بیشتر نیستند:

• $\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}$ — بازتابِ جمع، جمعِ بازتاب‌هاست.
• $\overline{z\,w} = \bar{z}\,\bar{w}$ — آینه با ضرب هم کنار می‌آید؛ به زاویه‌ها فکر کنید.
• $\lvert z - w\rvert$ دقیقاً فاصلهٔ دو نقطهٔ $z$ و $w$ در صفحه است؛ به تصویرِ برداریِ $z - w$ فکر کنید.

مشاهدهٔ آخر دری تازه باز می‌کند: وقتی قدر مطلق فاصله باشد، معادله‌ها شکل می‌شوند. مثلاً مجموعهٔ همهٔ نقطه‌هایی که در $\lvert z - (2+i)\rvert = 3$ صدق می‌کنند چه شکلی است؟ نشانی‌اش را همین جمله گفته است — مکان‌های هندسی در صفحهٔ مختلط، موضوع برگهٔ بعدی‌اند.

---

تمرین‌ها

تمرین ۱. وارونِ $3 + 4i$ را حساب کنید.

پاسخ

$$\frac{1}{3+4i} = \frac{3-4i}{\lvert 3+4i\rvert^2} = \frac{3-4i}{25}$$

(سنجش: طولِ وارون باید $\frac{1}{5}$ باشد؛ و $\left

\frac{3-4i}{25}\right

= \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$ ✓)

تمرین ۲. حاصل $\dfrac{2+i}{1-i}$ را حساب کنید و طولش را از دو راه بسنجید.

پاسخ

$$\frac{2+i}{1-i} = \frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1 + 3i}{2}$$

سنجش طول: نسبتِ طول‌ها $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ است؛ و طولِ جواب $\frac{\sqrt{10}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ ✓

یک قدم فراتر. نشان دهید اگر $\lvert z\rvert = 1$، آن‌گاه $\dfrac{1}{z} = \bar{z}$. تعبیر هندسی‌اش چیست؟

پاسخ

از اتحاد کلیدی: $z\,\bar{z} = \lvert z\rvert^2 = 1$؛ پس $\bar{z}$ همان وارونِ $z$ است. هندسه: روی دایرهٔ واحد، وارون‌سازی هیچ کششی لازم ندارد — فقط باید زاویه قرینه شود، و این دقیقاً کارِ مزدوج است.

---

جمع‌بندی

• مزدوج یعنی بازتاب در آینهٔ محور حقیقی؛ و $z\,\bar{z} = \lvert z\rvert^2$.
• وارونِ هر عدد ناصفر: $\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{\lvert z\rvert^2}$؛ ترفند «ضرب در مزدوج مخرج» دلیلی هندسی دارد.
• تقسیم هم مانند ضرب دوران است، فقط وارونه: نسبتِ طول‌ها و تفاضلِ زاویه‌ها.
• و یک هدیه: اتحاد برهماگوپتا–فیبوناچی، ترجمهٔ مختصاتیِ «طول‌ها ضرب می‌شوند».

اکنون باید بتوانید… مزدوجِ هر عدد را هندسی توصیف کنید؛ وارون و تقسیم را با «ضرب در مزدوجِ مخرج» انجام دهید و بگویید چرا این ترفند کار می‌کند؛ طولِ هر خارج‌قسمت را بی‌محاسبه پیش‌بینی کنید؛ و $\lvert z - w\rvert$ را همیشه «فاصله» بخوانید.

با این یادداشت، حسابِ اعداد مختلط کامل شد: جمع و تفریق، ضرب و تقسیم، توان و ریشه — همه با تصویری هندسی روشن. قطعهٔ گمشدهٔ قابِ برگهٔ دوم هم سر جایش نشست: هر عدد ناصفر وارون دارد، و اعداد مختلط، به تمام معنا، یک میدان‌اند. از این‌جا به بعد، این دستگاه آماده است تا در مسئله‌های واقعی به کار بیفتد.