اعداد مختلط · برگهٔ ۲ از ۸

از هندسه تا جبر

چرا نمادِ آشنای $x + y\,i$ همان دوران و کشش است

در یادداشت پیشین اعداد مختلط را به‌صورت بردارهایی در صفحه شناختیم: جمعشان همان جمع برداری بود و ضربشان قاعده‌ای هندسی داشت — طول‌ها ضرب می‌شوند و زاویه‌ها جمع. اما در کتاب‌های درسی معمولاً خبری از بردار و دوران نیست: عدد مختلط را به‌صورت $x + y\,i$ می‌نویسند، پرانتزها را مانند عبارت‌های جبری معمولی باز می‌کنند و هر جا $i^2$ دیدند، به‌جایش $-1$ می‌گذارند.

در این یادداشت می‌خواهیم نشان دهیم این دو تصویر، دو روایت از یک حقیقت‌اند: جبرِ $x + y\,i$ دقیقاً همان هندسهٔ دوران و کشش است.

---

از زوج مرتب تا $x + y\,i$

هر بردار در صفحه را می‌توان با دو گام پیمود: نخست حرکتی افقی، سپس حرکتی عمودی:

$$(x, y) = (x, 0) + (0, y)$$

گام نخست همان عدد حقیقی $x$ است. گام دوم چطور؟ ادعا می‌کنیم:

$$(0, y) = y \cdot i$$

برای دیدنش کافی است حاصل‌ضرب $y \cdot i$ را (برای $y>0$) با تعریف هندسی ضرب حساب کنیم: طولِ حاصل $y \times 1 = y$ است و زاویه‌اش $0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$؛ یعنی برداری به طول $y$ که مستقیم رو به بالا می‌رود — همان $(0, y)$. (برای $y$ منفی هم حساب مشابهی برقرار است.)

پس هر عدد مختلط را می‌توان چنین نوشت:

$$z = (x, y) = x + y\,i$$

دو گام تا $z$: نخست $x$ در راستای محور حقیقی، سپس $y\,i$ در راستای عمودی.

نماد آشنای کتاب‌های درسی از دل تصویر برداری بیرون آمد: $x + y\,i$ یعنی «$x$ قدم در راستای محور حقیقی، سپس $y$ قدم در راستای $i$».

یک نکتهٔ کوچک که آسان اشتباه گرفته می‌شود: قسمت موهومیِ $z$ همان عددِ حقیقیِ $y$ است، نه $y\,i$. گامِ عمودی $y\,i$ است، اما قسمت موهومی، ضریبِ آن گام است — عددی حقیقی، نه عددی موهومی.

---

کلید پل: ضرب، همهٔ صفحه را یک‌جا می‌چرخاند

پرسش اصلی این است: اگر اعداد را به شکل $x + y\,i$ بنویسیم، آیا اجازه داریم مثل جبرِ معمولی پرانتزها را باز کنیم؟ باز کردن پرانتز یعنی استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری:

$$w\,(z_1 + z_2) = w\,z_1 + w\,z_2$$

آیا ضربِ هندسیِ ما چنین خاصیتی دارد؟ پاسخ مثبت است و دلیلش یک تصویر است.

عدد مختلط $w$ را با طول $r$ و زاویهٔ $\theta$ ثابت نگه دارید. «ضرب در $w$» با هر عددی که انجام شود، یک کار می‌کند: طول آن عدد را $r$ برابر می‌کند و آن را به اندازهٔ $\theta$ می‌چرخاند. پس ضرب در $w$ تبدیلی است که کل صفحه را یک‌جا می‌چرخاند و می‌کشد.

حال مثلثِ جمعِ $z_1 + z_2$ را از یادداشت پیشین به یاد بیاورید. وقتی همهٔ صفحه بچرخد و کشیده شود، این مثلث هم می‌چرخد و کشیده می‌شود اما مثلث می‌ماند: دو ضلعش همان $w\,z_1$ و $w\,z_2$ می‌شوند و ضلع سومش — که جمعِ آن دو است — همان $w\,(z_1+z_2)$.

ضرب در $w$، مثلثِ جمع را یک‌جا می‌چرخاند و می‌کشد — مثلث، مثلث می‌ماند؛ توزیع‌پذیری یعنی همین.

توزیع‌پذیری یک قانون قراردادی نیست؛ یک واقعیت هندسی است: دوران و کشش، مثلثِ جمع را خراب نمی‌کنند.

---

پیش از ادامه، حدس بزنید. عدد $3 - 2i$ در ربع چهارم صفحه است. حاصل‌ضربِ $i\,(3 - 2i)$ در کدام ربع می‌افتد؟ به معنای هندسیِ «ضرب در $i$» فکر کنید؛ بعد از بخش بعد، حدس را با جبر بسنجید.

پاسخ

ضرب در $i$ یعنی چرخش ۹۰ درجهٔ پادساعت‌گرد؛ و چرخشِ ربع چهارم، ربع اول است. جبر هم همین را می‌گوید: $i\,(3-2i) = 3i - 2i^2 = 2 + 3i$ — در ربع اول. ✓

قاعدهٔ جبری ضرب

حالا همهٔ ابزارها آماده‌اند: توزیع‌پذیری را از هندسه گرفتیم و از یادداشت پیشین هم می‌دانیم $i^2 = -1$. پس می‌توانیم مانند جبر معمولی ضرب کنیم:

$$z_1 z_2 = (x_1 + y_1\,i)(x_2 + y_2\,i) = x_1 x_2 + x_1 y_2\,i + y_1 x_2\,i + y_1 y_2\,i^2$$

و با جای‌گذاری $i^2 = -1$:

$$z_1 z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + (x_1 y_2 + x_2 y_1)\,i$$

این همان قاعده‌ای است که در کتاب‌های درسی به‌عنوان «تعریفِ» ضرب معرفی می‌شود. اما برای ما هیچ‌چیزِ آن قرارداد نبود: باز شدن پرانتزها از هندسهٔ دوران آمد و $i^2 = -1$ از دو بار چرخش ۹۰ درجه.

---

آزمایش: $(1+i)^2$

راه جبری:

$$(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$$

راه هندسی: بردار $1+i$ طول $\sqrt{2}$ و زاویهٔ $\frac{\pi}{4}$ (۴۵ درجه) دارد. پس مربع آن باید طولی برابر $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ و زاویه‌ای برابر $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ داشته باشد: برداری به طول ۲، مستقیم رو به بالا — یعنی $2i$.

هر دو راه به یک نقطه رسیدند.

---

آیا واقعاً دستگاه عددی ساخته‌ایم؟

هنوز ادعایی در هوا مانده است. «مانند جبرِ معمولی» حساب کردن فقط باز کردن پرانتز نیست؛ جابه‌جا کردن و دسته‌بندی جمله‌ها هم هست. جمع و ضرب اعداد حقیقی خواصی دارند که همهٔ جبر مدرسه بر آن‌ها سوار است — دستگاه تازهٔ ما کدام‌ها را دارد؟ فهرست را یک‌جا مرور کنیم:

• خواص جمع — همه از جمع برداری به ارث می‌رسند: جابه‌جایی، شرکت‌پذیری، عضو خنثی (بردار صفر) و قرینهٔ هر عدد ($-z$).
• جابه‌جایی ضرب — از تصویر قطبی: «طول‌ها ضرب، زاویه‌ها جمع»؛ و ضربِ طول‌ها و جمعِ زاویه‌ها هر دو به ترتیب بی‌اعتنایند.
• شرکت‌پذیری ضرب — به همان دلیل: حاصل‌ضربِ سه عدد، از هر طرف که ببندیم، طولش حاصل‌ضربِ سه طول است و زاویه‌اش جمعِ سه زاویه.
• عضو خنثی ضرب — عدد ۱: کشش با ضریب ۱ و چرخشِ صفر، یعنی هیچ‌کاری.
• توزیع‌پذیری — همین بالا دیدیم: دوران و کشش، مثلثِ جمع را حفظ می‌کند.

فقط یک قطعه کم است: وارون — این‌که بتوان بر هر عدد ناصفر تقسیم کرد. آن قطعه در برگهٔ مزدوج و تقسیم ساخته می‌شود؛ و وقتی سر جایش بنشیند، دستگاه ما همهٔ خواص آشنای حساب را خواهد داشت. ریاضی‌دان‌ها به چنین دستگاهی میدان می‌گویند — اعداد مختلط، مانند اعداد حقیقی، یک میدان‌اند.

---

تمرین‌ها

تمرین ۱. حاصل‌ضرب $(2+i)(1+3i)$ را با باز کردن پرانتزها حساب کنید؛ سپس درستی‌اش را فقط با طول‌ها بسنجید.

پاسخ

$$(2+i)(1+3i) = 2 + 6i + i + 3i^2 = -1 + 7i$$

سنجش با طول‌ها: $\lvert 2+i\rvert = \sqrt{5}$ و $\lvert 1+3i\rvert = \sqrt{10}$؛ پس طول حاصل باید $\sqrt{50}$ باشد. و به‌راستی $\lvert -1+7i\rvert = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}$. ✓

تمرین ۲. با قاعدهٔ جبری نشان دهید $(x + y\,i)(x - y\,i)$ همیشه عددی حقیقی و نامنفی است. تعبیر هندسی‌اش چیست؟

پاسخ

$$(x + y\,i)(x - y\,i) = x^2 - (y\,i)^2 = x^2 + y^2$$

هندسه: این دو عدد طولی برابر و زاویه‌هایی قرینه دارند؛ در ضرب، زاویه‌ها جمع می‌شوند و صفر می‌شوند — حاصل روی محور حقیقیِ مثبت می‌افتد، با طول $r^2$. (این جفتِ آینه‌ای در برگهٔ مزدوج و تقسیم نامی هم پیدا می‌کند.)

یک قدم فراتر. بدون باز کردن حتی یک پرانتز توضیح دهید چرا $(1+i)^8$ عددی حقیقی و مثبت است؛ سپس مقدارش را بگویید.

پاسخ

عدد $1+i$ طول $\sqrt{2}$ و زاویهٔ ۴۵ درجه دارد. توان هشتم یعنی هشت بار ضرب: زاویه $8 \times 45 = 360$ درجه — یک دور کامل، یعنی بازگشت به جهتِ مثبتِ محور حقیقی — و طول $(\sqrt{2})^8 = 16$. پس $(1+i)^8 = 16$.

---

جمع‌بندی

• نماد $x + y\,i$ چیزی جز شکستن بردار به دو گام افقی و عمودی نیست.
• توزیع‌پذیری ضرب، پیامد این واقعیت هندسی است که دوران و کشش، مثلثِ جمع را حفظ می‌کنند.
• پس «ضرب مدرسه‌ای» — باز کردن پرانتزها با $i^2 = -1$ — و «ضرب هندسی» — ضرب طول‌ها و جمع زاویه‌ها — یک عمل واحدند.
• جمع و ضرب مختلط همهٔ خواص آشنای حساب را دارند؛ تنها وارونِ ضرب مانده که در برگهٔ مزدوج و تقسیم ساخته می‌شود.

اکنون باید بتوانید… هر حاصل‌ضربی را با باز کردن پرانتز و $i^2 = -1$ حساب کنید؛ توضیح دهید توزیع‌پذیری از کدام تصویر می‌آید؛ جواب هر ضرب را از راه هندسی بسنجید؛ و فهرست خواصِ «دستگاه عددی» را از حفظ بازسازی کنید.

هرچه این پل محکم‌تر شود، رفت‌وآمد میان جبر و هندسه آسان‌تر می‌شود؛ در برگهٔ بعد همین رفت‌وآمد را به مهارتی دقیق تبدیل می‌کنیم و سپس از آن برای یافتن ریشه‌های اعداد مختلط و چندضلعی‌های منتظم خواهیم گذشت.