اعداد مختلط؛ توان‌ها و ریشه‌های واحد

وقتی ضرب دوران است، توان‌رساندن قدم‌زدن روی دایره است — و ریشه‌های ۱، یک چندضلعی منتظم می‌سازند

در دو یادداشت پیشین دیدیم که ضرب اعداد مختلط معنایی هندسی دارد: طول‌ها ضرب می‌شوند و زاویه‌ها جمع. حالا وقت آن است که از این قاعده کار بکشیم. اگر عددی را بارها در خودش ضرب کنیم چه می‌شود؟ و پرسش وارونه: کدام اعدادند که اگر $n$ بار در خودشان ضرب شوند، به ۱ برسند؟

---

توان یعنی دورانِ پیاپی

عدد مختلط $z$ را به صورت قطبی بنویسیم: $z = r\,(\cos\theta + i\,\sin\theta)$. هر بار ضرب در $z$ یعنی: طول، $r$ برابر و زاویه، $\theta$ بیشتر. پس بعد از $n$ بار:

$$z^n = r^n\left(\cos n\theta + i\,\sin n\theta\right)$$

این فرمول به نام فرمول دُموآور شناخته می‌شود؛ اما برای ما قضیهٔ تازه‌ای نیست — فقط بازگوییِ همان قاعدهٔ «طول‌ها ضرب، زاویه‌ها جمع» است، $n$ بار پشت سر هم.

جالب‌ترین حالت وقتی است که طول عدد ۱ باشد:

$$u = \cos\theta + i\,\sin\theta$$

توان‌های $u$ هیچ کششی ندارند؛ فقط می‌چرخند. اعداد $u,\, u^2,\, u^3,\, \dots$ روی دایرهٔ واحد، با گام‌های مساویِ $\theta$، پیش می‌روند.

توان‌رساندن روی دایرهٔ واحد، قدم‌زدن است: هر ضرب، یک گام به اندازهٔ $\theta$.

---

معادلهٔ $z^n = 1$

حالا پرسش وارونه. به دنبال همهٔ اعدادی هستیم که

$$z^n = 1$$

به این اعداد ریشه‌های $n$-اُم واحد می‌گویند. با نگاه قطبی، پاسخ تقریباً خودش را می‌گوید. اگر $z$ طول $r$ و زاویهٔ $\theta$ داشته باشد، $z^n$ طول $r^n$ و زاویهٔ $n\theta$ دارد؛ و عدد ۱ طول ۱ و زاویهٔ صفر. پس:

• طول: باید $r^n = 1$ باشد و چون طول عددی نامنفی است، $r = 1$. یعنی همهٔ ریشه‌ها روی دایرهٔ واحدند.
• زاویه: باید $n\theta$ همان زاویهٔ عدد ۱ باشد؛ یعنی مضربی کامل از $2\pi$:

$$n\theta = 2\pi k \quad\Longrightarrow\quad \theta = \frac{2\pi k}{n}, \qquad k = 0,\, 1,\, 2,\, \dots,\, n-1$$

چرا $k$ را از $n-1$ جلوتر نبردیم؟ چون $k = n$ زاویهٔ $2\pi$ می‌دهد که همان زاویهٔ صفر است؛ از آن به بعد همه‌چیز تکرار می‌شود.

پس معادلهٔ $z^n = 1$ دقیقاً $n$ جواب دارد.

---

یک چندضلعی منتظم

این $n$ جواب، همه روی دایرهٔ واحد نشسته‌اند و زاویهٔ هر دو جوابِ پیاپی دقیقاً $\frac{2\pi}{n}$ با هم فرق دارد: این‌ها رأس‌های یک $n$-ضلعی منتظم‌اند که یک رأسش روی عدد ۱ است.

اگر نخستین ریشهٔ بعد از ۱ را $\omega$ بنامیم — عددی با طول ۱ و زاویهٔ $\frac{2\pi}{n}$ — بقیهٔ ریشه‌ها توان‌های همین $\omega$ هستند:

$$1,\, \omega,\, \omega^2,\, \dots,\, \omega^{n-1}$$

همان قدم‌زدن روی دایره است، این بار با گامی که بعد از $n$ قدم، دقیقاً به خانهٔ اول برمی‌گردد.

مثال. ریشه‌های سوم واحد:

$$1, \qquad \omega = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\,i, \qquad \omega^2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\,i$$

این‌جا $\omega$ عددی است با طول ۱ و زاویهٔ $\frac{2\pi}{3}$ (۱۲۰ درجه): قسمت حقیقی‌اش $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ و قسمت موهومی‌اش $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. و سه بار چرخشِ ۱۲۰ درجه‌ای یک دور کامل است؛ پس $\omega^3 = 1$، بی‌آنکه به محاسبه‌ای جبری نیاز باشد.

---

جمع ریشه‌ها؛ یک استدلال تقارنی

ادعا می‌کنیم برای هر $n \ge 2$:

$$1 + \omega + \omega^2 + \cdots + \omega^{n-1} = 0$$

جمعِ همهٔ ریشه‌ها را $S$ بنامید و آن را در $\omega$ ضرب کنید. ضرب در $\omega$ یعنی چرخاندن همهٔ صفحه به اندازهٔ $\frac{2\pi}{n}$؛ این چرخش هر ریشه را به ریشهٔ بعدی می‌برد و آخرین ریشه را به اولی. یعنی مجموعهٔ ریشه‌ها فقط میان خودشان جابه‌جا می‌شوند و جمعشان همان می‌ماند:

$$\omega\, S = S$$

اما $\omega S$ همان بردار $S$ است که به اندازهٔ $\frac{2\pi}{n}$ چرخیده! تنها برداری که پس از چرخشی ناصفر سر جای خودش می‌ماند، بردار صفر است. پس $S = 0$.

برای ریشه‌های سوم می‌توان مستقیم هم دید: قسمت‌های حقیقی $1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$ و قسمت‌های موهومی قرینهٔ یکدیگرند.

این همان روحِ استدلال‌های تقارنی است که در یادداشت‌های تقارن دیدیم: چیزی که زیر یک تبدیل ناوردا بماند، باید بسیار خاص باشد.

---

جمع‌بندی

• توانِ $n$-اُم یعنی $n$ گام دوران و کشش پیاپی؛ این محتوای فرمول دموآور است.
• معادلهٔ $z^n = 1$ دقیقاً $n$ ریشه دارد: همه با طول ۱ و زاویه‌های $\frac{2\pi k}{n}$.
• ریشه‌ها رأس‌های یک $n$-ضلعی منتظم‌اند و همگی توان‌های نخستین ریشه، $\omega$.
• جمع همهٔ ریشه‌ها به حکم تقارن صفر است.

چندضلعیِ منتظم فقط سهم عدد ۱ نیست: در یادداشتی دیگر خواهیم دید ریشه‌های $n$-اُم هر عدد مختلط دلخواه هم چندضلعی منتظمی می‌سازند — کافی است چندضلعیِ واحد را بچرخانیم و کش بدهیم.