یادداشت‌های فرکتالی
گام‌های کوچک در دل ساختارهای بزرگ ریاضی

اعداد مختلط؛ از هندسه تا جبر

چرا نمادِ آشنای x+y ix + y\,i همان دوران و کشش است

در یادداشت پیشین اعداد مختلط را به‌صورت بردارهایی در صفحه شناختیم: جمعشان همان جمع برداری بود و ضربشان قاعده‌ای هندسی داشت — طول‌ها ضرب می‌شوند و زاویه‌ها جمع. اما در کتاب‌های درسی معمولاً خبری از بردار و دوران نیست: عدد مختلط را به‌صورت x+y ix + y\,i می‌نویسند، پرانتزها را مانند عبارت‌های جبری معمولی باز می‌کنند و هر جا i2i^2 دیدند، به‌جایش −1-1 می‌گذارند.

در این یادداشت می‌خواهیم نشان دهیم این دو تصویر، دو روایت از یک حقیقت‌اند: جبرِ x+y ix + y\,i دقیقاً همان هندسهٔ دوران و کشش است.

از زوج مرتب تا x+y ix + y\,i

هر بردار در صفحه را می‌توان با دو گام پیمود: نخست حرکتی افقی، سپس حرکتی عمودی:

(x,y)=(x,0)+(0,y)(x, y) = (x, 0) + (0, y)

گام نخست همان عدد حقیقی xx است. گام دوم چطور؟ ادعا می‌کنیم:

(0,y)=y⋅i(0, y) = y \cdot i

برای دیدنش کافی است حاصل‌ضرب y⋅iy \cdot i را (برای y>0y>0) با تعریف هندسی ضرب حساب کنیم: طولِ حاصل y×1=yy \times 1 = y است و زاویه‌اش 0+π2=π20 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}؛ یعنی برداری به طول yy که مستقیم رو به بالا می‌رود — همان (0,y)(0, y). (برای yy منفی هم حساب مشابهی برقرار است.)

پس هر عدد مختلط را می‌توان چنین نوشت:

z=(x,y)=x+y iz = (x, y) = x + y\,i

شکستن بردار z به دو گام: x در راستای محور حقیقی و yi در راستای عمودی

نماد آشنای کتاب‌های درسی از دل تصویر برداری بیرون آمد: x+y ix + y\,i یعنی «xx قدم در راستای محور حقیقی، سپس yy قدم در راستای ii».

کلید پل: ضرب، همهٔ صفحه را یک‌جا می‌چرخاند

پرسش اصلی این است: اگر اعداد را به شکل x+y ix + y\,i بنویسیم، آیا اجازه داریم مثل جبرِ معمولی پرانتزها را باز کنیم؟ باز کردن پرانتز یعنی استفاده از خاصیت توزیع‌پذیری:

w (z1+z2)=w z1+w z2w\,(z_1 + z_2) = w\,z_1 + w\,z_2

آیا ضربِ هندسیِ ما چنین خاصیتی دارد؟ پاسخ مثبت است و دلیلش یک تصویر است.

عدد مختلط ww را با طول rr و زاویهٔ θ\theta ثابت نگه دارید. «ضرب در ww» با هر عددی که انجام شود، یک کار می‌کند: طول آن عدد را rr برابر می‌کند و آن را به اندازهٔ θ\theta می‌چرخاند. پس ضرب در ww تبدیلی است که کل صفحه را یک‌جا می‌چرخاند و می‌کشد.

حال مثلثِ جمعِ z1+z2z_1 + z_2 را از یادداشت پیشین به یاد بیاورید. وقتی همهٔ صفحه بچرخد و کشیده شود، این مثلث هم می‌چرخد و کشیده می‌شود اما مثلث می‌ماند: دو ضلعش همان w z1w\,z_1 و w z2w\,z_2 می‌شوند و ضلع سومش — که جمعِ آن دو است — همان w (z1+z2)w\,(z_1+z_2).

مثلث جمع دو عدد مختلط و تصویر چرخیده و کشیده‌شدهٔ آن پس از ضرب در w

توزیع‌پذیری یک قانون قراردادی نیست؛ یک واقعیت هندسی است: دوران و کشش، مثلثِ جمع را خراب نمی‌کنند.

قاعدهٔ جبری ضرب

حالا همهٔ ابزارها آماده‌اند: توزیع‌پذیری را از هندسه گرفتیم و از یادداشت پیشین هم می‌دانیم i2=−1i^2 = -1. پس می‌توانیم مانند جبر معمولی ضرب کنیم:

z1z2=(x1+y1 i)(x2+y2 i)=x1x2+x1y2 i+y1x2 i+y1y2 i2z_1 z_2 = (x_1 + y_1\,i)(x_2 + y_2\,i) = x_1 x_2 + x_1 y_2\,i + y_1 x_2\,i + y_1 y_2\,i^2

و با جای‌گذاری i2=−1i^2 = -1:

z1z2=(x1x2−y1y2)+(x1y2+x2y1) iz_1 z_2 = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + (x_1 y_2 + x_2 y_1)\,i

این همان قاعده‌ای است که در کتاب‌های درسی به‌عنوان «تعریفِ» ضرب معرفی می‌شود. اما برای ما هیچ‌چیزِ آن قرارداد نبود: باز شدن پرانتزها از هندسهٔ دوران آمد و i2=−1i^2 = -1 از دو بار چرخش ۹۰ درجه.

آزمایش: (1+i)2(1+i)^2

راه جبری:

(1+i)2=1+2i+i2=2i(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i

راه هندسی: بردار 1+i1+i طول 2\sqrt{2} و زاویهٔ π4\frac{\pi}{4} (۴۵ درجه) دارد. پس مربع آن باید طولی برابر 2⋅2=2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 و زاویه‌ای برابر π4+π4=π2\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} داشته باشد: برداری به طول ۲، مستقیم رو به بالا — یعنی 2i2i.

هر دو راه به یک نقطه رسیدند.

هدیهٔ پایانی: اتحادهای مثلثاتی، رایگان

عدد مختلط zz را با طول rr و زاویهٔ θ\theta در نظر بگیرید. قسمت حقیقی آن rcos⁡θr\cos\theta و قسمت موهومی آن rsin⁡θr\sin\theta است؛ پس:

z=r (cos⁡θ+i sin⁡θ)z = r\,(\cos\theta + i\,\sin\theta)

به این نمایش، صورت قطبی می‌گویند.

صورت قطبی عدد مختلط: طول r و زاویهٔ θ با مؤلفه‌های r cos θ و r sin θ

حالا دو عدد با طول ۱ بردارید:

uα=cos⁡α+i sin⁡α,uβ=cos⁡β+i sin⁡βu_\alpha = \cos\alpha + i\,\sin\alpha, \qquad u_\beta = \cos\beta + i\,\sin\beta

و حاصل‌ضربشان را از دو راه حساب کنید.

راه هندسی: طول‌ها 1×1=11 \times 1 = 1 و زاویه‌ها α+β\alpha + \beta؛ پس حاصل، عددی است با طول ۱ و زاویهٔ α+β\alpha+\beta:

uα uβ=cos⁡(α+β)+i sin⁡(α+β)u_\alpha\, u_\beta = \cos(\alpha+\beta) + i\,\sin(\alpha+\beta)

راه جبری (با قاعدهٔ بخش قبل):

uα uβ=(cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β)+i (sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β)u_\alpha\, u_\beta = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) + i\,(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)

این دو باید یکی باشند؛ قسمت حقیقی با قسمت حقیقی و قسمت موهومی با قسمت موهومی برابر است:

cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta

اتحادهای جمعِ زاویه‌ها — که حفظ‌کردنشان همیشه دردسر دارد — این‌جا خودشان از دلِ ضرب مختلط بیرون آمدند. (اگر α=β\alpha = \beta بگذارید، اتحاد دوبرابرِ زاویه به‌دست می‌آید؛ همان که در یادداشت مثلثات از راهی دیگر به آن رسیدیم.)

جمع‌بندی

  • نماد x+y ix + y\,i چیزی جز شکستن بردار به دو گام افقی و عمودی نیست.
  • توزیع‌پذیری ضرب، پیامد این واقعیت هندسی است که دوران و کشش، مثلثِ جمع را حفظ می‌کنند.
  • پس «ضرب مدرسه‌ای» — باز کردن پرانتزها با i2=−1i^2 = -1 — و «ضرب هندسی» — ضرب طول‌ها و جمع زاویه‌ها — یک عمل واحدند.
  • از مقایسهٔ این دو نگاه، اتحادهای مثلثاتی جمع زاویه‌ها به‌رایگان به‌دست آمدند.

هرچه این پل محکم‌تر شود، رفت‌وآمد میان جبر و هندسه آسان‌تر می‌شود؛ در یادداشت‌های بعدی از همین پل برای یافتن ریشه‌های اعداد مختلط و چندضلعی‌های منتظم خواهیم گذشت.