وقتی یک مسئله ترسناک، ناگهان خطی میشود
۳۰ یالِ یک بیستوجهیِ منتظم (Icosahedron) با برچسبهای
از هم متمایز شدهاند. میخواهیم هر یال را با یکی از سه رنگِ قرمز، سفید، آبی رنگ کنیم، بهطوریکه برای هر یک از ۲۰ وجهِ مثلثی بیستوجهی، وضعیت رنگها چنین باشد:
- دو یال آن مثلث همرنگ باشند،
- و یال سوم رنگی متفاوت داشته باشد.
چند رنگآمیزیِ متفاوتِ یالها با این ویژگی وجود دارد؟ (توجه: چون یالها برچسبدارند، تقارنهای جسم در شمارش نقشی ندارند.)
مقدمه
در نگاه اول، این مسئله کاملاً هندسی و حتی کمی ترسناک به نظر میرسد. نام «بیستوجهی منتظم» ناخودآگاه این انتظار را ایجاد میکند که باید ساختار دقیق آن را بهخاطر داشته باشیم یا با تقارنهای پیچیدهاش درگیر شویم.
در این نوشته، میخواهیم ببینیم چگونه با بازنویسی مسئله و تغییر زبان آن،
یک مسئلهٔ ظاهراً هندسی را به مسئلهای بسیار سادهتر و شفافتر تبدیل میکنیم—
بیآنکه لازم باشد وارد جزئیات پیچیدهٔ خودِ بیستوجهی شویم.
یک مکث کوتاه: مرور چند واقعیت ساده
پیش از آنکه وارد ایدهٔ اصلی شویم، بد نیست لحظهای مکث کنیم و چند واقعیت پایهای دربارهٔ بیستوجهی منتظم را مرور کنیم—نه برای حل مسئله، بلکه برای اینکه تصویر کلیمان روشن شود.
میدانیم که برای هر جسم محدب داریم:
(فرمول اویلر).
بیستوجهی منتظم (Icosahedron)، همانطور که از نامش پیداست، از وجههای مثلثی تشکیل شده است.
در هر رأس آن، پنج مثلث به هم میرسند (چهار تا مربوط به هشتوجهی است و ششتا به حالت تخت میانجامد).
اگر تعداد رأسها را بنامیم، آنگاه:
- هر وجه سه یال دارد، و هر یال در دو وجه مشترک است، پس:
- هر رأس پنج یال دارد، و هر یال دو رأس را به هم وصل میکند، پس:
اکنون این روابط را در فرمول اویلر جایگذاری میکنیم:
که از آن نتیجه میشود:
در نتیجه، بیستوجهی منتظم دارای:
- ۱۲ رأس
- ۳۰ یال
- و ۲۰ وجهٔ مثلثی
است.
(در خودِ صورت مسئله گفته شده که ۳۰ یال داریم، اما دانستن این محاسبه بد نیست—این همان حسابی است که نشان میدهد دقیقاً پنج جسم افلاطونی وجود دارد.)
تلاش نخست: سادهسازی
وقتی با مسئلهای بزرگ و پیچیده روبهرو میشویم، یکی از واکنشهای طبیعی این است که بگوییم:
«اگر این مسئله واقعاً قابلحل است، باید بتوان نسخهای سادهتر از آن را هم حل کرد.»
پس بیایید بیستوجهی را کنار بگذاریم و به سراغ یک گراف بسیار سادهتر برویم:
چهاروجهی.
گراف چهاروجهی همان گراف کامل روی چهار رأس است، یعنی —گرافی که بسیاری از ما با آن احساس راحتی داریم.
اگر بتوانیم یالهای را با سه رنگ طوری رنگ کنیم که روی هر مثلث، دقیقاً دو یال همرنگ و یال سوم متفاوت باشد، شاید الگویی ببینیم که به مسئلهٔ اصلی کمک کند.
با این امید، شروع میکنیم به آزمون و خطا:
- اگر دو یال یک مثلث همرنگ باشند، یال سوم باید متفاوت باشد؛
- این انتخاب، مثلثهای دیگر را محدود میکند؛
- آن محدودیتها انتخابهای بعدی را شکل میدهند؛
- و این زنجیره ادامه پیدا میکند.
اما هرچه بیشتر جلو میرویم، اتفاق خاصی نمیافتد.
نه الگویی آشکار میشود،
نه ساختاری منظم خودش را نشان میدهد.
البته میشود با حوصله و کاغذ و قلم، تعداد رنگآمیزیهای مجاز را شمرد؛
اما این شمارش، چیزی را روشن نمیکند.
نه ایدهای میدهد، نه راهی برای تعمیم.
اینجا دقیقاً به همان نکتهای میرسیم که پولیا بهزیبایی گفته است:
«در دل هر مسئلهای که نمیتوانی حلش کنی،
مسئلهای کوچکتر نهفته است که آن را هم نمیتوانی حل کنی.»
در این مورد، کوچککردن مسئله کمکی نکرد.
چهاروجهی آنقدر ساده بود که ساختار پنهان مسئله را از ما پنهان کرد.
پس باید راه دیگری باشد—
نه کوچکتر کردن مسئله،
بلکه دیدن آن از زاویهای کاملاً متفاوت.