جبر خطی؛ میدان‌ها

میدان‌ها: فراتر از یک دستگاه عددی خاص

اعداد گویا را می‌توان جمع و ضرب کرد. جمع و ضرب در میان اعداد گویا از قوانینی پیروی می‌کنند که از کودکی با آن‌ها آشنا هستیم:
قانون جابجایی، قانون توزیع‌پذیری، این‌که «صفر با هر چیزی جمع شود همان چیز می‌ماند»، و قوانینِ مشابه دیگر.

ما می‌دانیم که چگونه اعداد گویا را تفریق و تقسیم هم بکنیم؛ اما در این‌جا مفیدتر است که توجه‌مان را روی دو عملِ اصلی — جمع و ضرب — متمرکز کنیم و دو عمل دیگر را با استفاده از معکوس‌ها تعریف کنیم:

قرینهٔ جمعیِ $a$ یعنی $-a$
معکوس ضربیِ $a$ یعنی $\frac{1}{a}$

اعداد حقیقی نیز قابل جمع و ضرب‌اند و دقیقاً همان قوانین همچنان برقرارند.

البته تفاوت‌هایی هم پدیدار می‌شود. برای مثال، عدد حقیقیِ $2$ حاصل‌ضربِ یک عدد حقیقی در خودش است، در حالی که در میان اعداد گویا، هیچ عددی وجود ندارد که مربعش برابر با $2$ باشد.

بنابراین، وقتی می‌خواهیم مفهوم «میدان» را تعریف کنیم، قانونی از این جنس را به‌عنوان اصل قرار نمی‌دهیم که: «نباید اجازه بدهیم $\sqrt{2}$ وجود داشته باشد.» برخی میدان‌ها دارای $\sqrt{2}$ هستند، و برخی دیگر نه.

اعداد مختلط نیز قابل جمع و ضرب‌اند و باز هم همان قوانین آشنای جبر بدون هیچ تغییری برقرار می‌مانند. اگر با اعداد مختلط آشنا نیستید، می‌توانید برگه‌ی آشنایی کوتاه با اعداد مختلط را بخوانید.

حالا به مثالی می‌رسیم که در نگاه اول کمی غافل‌گیرکننده است.

می‌توان تنها دو «عدد» $\set{0, 1}$ را در نظر گرفت، و ضرب را همان ضرب معمولی تعریف کرد، اما جمع را با یک پیچش کوچک:

\[1 + 1 = 0.\]

با وجود این تعریف عجیب، معلوم می‌شود که این دستگاهِ بسیار ساده — با فقط دو عدد — همچنان تمام قوانین معمول جبر را ارضا می‌کند. اغراق نیست اگر بگوییم این ساختار در علوم کامپیوتر و مهندسی فوق‌العاده کاربردی است. به این دستگاه می‌گویند:

میدانِ دو عضوی

و آن را با نماد $\mathbb{F}_2$ نشان می‌دهند.

به‌زودی خواهیم دید که «دستگاه‌های عددی» بسیار دیگری نیز وجود دارند — یا به بیان دقیق‌تر، میدان‌های فراوانی — که درست مانند اعداد گویا، حقیقی و مختلط، قوانین پایه‌ای جبر مثل جابجایی، شرکت‌پذیری و توزیع‌پذیری را رعایت می‌کنند.

چرا میدان‌ها مهم‌اند؟

زیرا وقتی اجازه می‌دهیم «میدان» هر ساختار انتزاعی‌ای باشد که قوانین پایهٔ جبر را ارضا می‌کند، تمام آن‌چه انجام می‌دهیم به‌طرزی چشمگیر کلی‌تر و نیرومندتر می‌شود.

میدان‌های بی‌شماری وجود دارند که نقشی عمیق و اساسی در نظریهٔ اعداد، نظریهٔ ارتباطات، هندسه و تقریباً تمام شاخه‌های دیگر ریاضیات ایفا می‌کنند.

عملیات، نه لزوماً جمع و ضربِ آشنا

در قدم اول باید به این ایده عادت کنیم که عملیاتی مثل «جمع» و «ضرب» را می‌توانیم هرطور که بخواهیم تعریف کنیم.
ما آن‌قدر به جمع و ضرب معمولی خو گرفته‌ایم که برای بسیاری از ما کنار آمدن با «نسخه‌های جدید» این عملیات‌ها دشوار است.

نگذارید این موضوع گیج‌تان کند:
در این برگه‌ها، بارها و بارها جمع و ضرب را به شیوه‌هایی کاملاً جدید تعریف خواهیم کرد. میدان‌ها، فضاهای برداری، حلقه‌ها، گروه‌ها و ساختارهای مشابه از عملیات‌هایی استفاده می‌کنند که ممکن است هیچ شباهتی به جمع و ضرب معمولی نداشته باشند — یا ممکن است داشته باشند.

عملیات یعنی چه؟

یک «عملیات» — دقیق‌تر بگوییم یک عملیات دوتایی (binary) — چیزی نیست جز یک ماشین که دو ورودی می‌گیرد و یک خروجی تولید می‌کند.

ماشین «جمعِ معمولی» از ورودی‌های $3$ و $5$ عدد $8$ را می‌سازد، و ماشین «ضربِ معمولی» از همان ورودی‌ها عدد $15$ را تولید می‌کند.

اما در جبر انتزاعی، ما ماشین‌هایی کاملاً دلخواه را بررسی می‌کنیم؛
مثلاً ماشینی که از ورودی‌های «banana» و «whale» خروجیِ «apple» می‌سازد.

این‌که چنین عملیاتی «منطقی» به نظر می‌رسد یا نه، اهمیتی ندارد؛ یک عملیات دوتایی صرفاً باید بتواند از دو ورودی، یک خروجی بسازد.

عملیات یک‌ورودی

در کنار عملیات‌های دوتایی، عملیات‌های یک‌ورودی (unary،‌ یکانی) هم وجود دارند؛ عملیاتی که از یک ورودی، یک خروجی می‌سازند.

«قرینهٔ عددی» نمونه‌ای از این نوع عملیات است:

اگر ورودی $6$ باشد، خروجی $-6$ است؛
اگر ورودی $-17$ باشد، خروجی $17$ است؛
اگر ورودی $0$ باشد، خروجی $0$ است.

قطعیتِ عملیات

یک عملیات همیشه برای ورودی‌های یکسان، همان خروجی ثابت را می‌دهد.
هیچ تصادف یا عدم‌قطعیتی در کار نیست.
عملیات هرگز نمی‌گوید: «نمی‌دانم».

مواد لازم برای ساختن یک میدان

برای ساختن یک میدان، به اجزای زیر نیاز داریم:

۱. مجموعه‌ای از عناصر

چند شیء، هرچه که باشند، که نقش «عدد» یا عنصر میدان را بازی کنند. مجموعهٔ همهٔ این عناصر را معمولاً با نماد $F$ نشان می‌دهیم. ماهیت این عناصر اهمیتی ندارد. مجموعهٔ $F$ می‌تواند:

اعداد گویا باشد،
یا حروفی مثل $A, B, C, D$،
یا حتی انگشتان دست شما.

۲. دو عملیات دوتایی

به دو عملیات دوتایی جمع ($+$) و ضرب ($\times$) داریم. هرکدام از این عملیات‌ها، دو عنصر از $F$ می‌گیرند و دوباره عنصری از $F$ تحویل می‌دهند. اگر با نمادگذاری آشنا باشید، می‌توان آن‌ها را تابع‌هایی از $F \times F$ به $F$ در نظر گرفت.

جمع و ضرب باید برای هر دو عنصر دلخواه از میدان تعریف شده باشند و همیشه نتیجه‌ای در «همان میدان» بدهند.

۳. مجموعه‌ای از قوانین (اصول میدان)

این دو عملیات باید مجموعه‌ای از قوانین را ارضا کنند که به آن‌ها اصول میدان (field axioms) می‌گوییم.
این قوانین بسیار آشنا هستند، زیرا دقیقاً همان قوانینی‌اند که جمع و ضرب معمولیِ اعداد گویا یا حقیقی از آن‌ها پیروی می‌کنند.

اصول میدان

قانون یکم جمع (A1) — جمع جابجایی‌پذیر و شرکت‌پذیر است. اگر $x, y, z$ هر سه عضو $F$ باشند، آنگاه: $x + y = y + x$ و $x + (y + z) = (x + y) + z$. پرانتزها نشان می‌دهند که کدام عمل زودتر انجام می‌شود.
قانون دوم جمع (A2) — وجود عنصر خنثای جمع. عنصری در $F$ وجود دارد که آن را $0$ می‌نامیم و برای هر $x \in F$ داریم: $x + 0 = x$. این $0$ صرفاً نام یک عنصر از $F$ است و لزوماً ربطی به عدد صفرِ آشنا ندارد. نام‌گذاری آن به $0$ مشکلی ایجاد نمی‌کند، چون بعداً نشان خواهیم داد که چنین عنصری یگانه است.
قانون سوم جمع (A3) — وجود قرینهٔ جمعی. برای هر عنصر $x$ در $F$، عنصری $y$ وجود دارد به‌طوری که: $x + y = 0$. نشان خواهیم داد که این $y$ یکتا است و آن را با نماد $-x$ نمایش می‌دهیم.
قانون اول ضرب (M1) — ضرب جابجایی‌پذیر و شرکت‌پذیر است.
قانون دوم ضرب (M2) — وجود عنصر خنثای ضرب. عنصری در $F$ وجود دارد که آن را $1$ می‌نامیم و برای هر $x \in F$ داریم: $x \times 1 = x$. همچنین لازم است که: $1 \neq 0$. عنصر خنثای ضرب نباید با عنصر خنثای جمع یکی باشد.
قانون سوم ضرب (M3) — وجود معکوس ضربی. برای هر عنصر $x$ در $F$ به‌جز $0$، عنصری $y$ وجود دارد به‌طوری که: $x \times y = 1$. این $y$ نیز یکتا است و آن را با نماد $x^{-1}$ نشان می‌دهیم.
قانون توزیع‌پذیری (D) — برای هر سه عنصر $x, y, z$ در $F$ داریم: $x \times (y + z) = x \times y + x \times z$.

می‌توانیم برای صرفه‌جویی در نوشتن، به‌جای $x \times y$ فقط $xy$ بنویسیم.

تعریف رسمی میدان

یک میدان مجموعه‌ای است به‌نام $F$ به‌همراه دو عملیات دوتایی $+$ و $\times$ که اصول A1، A2، A3، M1، M2، M3 و D را ارضا می‌کنند.

این تعریف، تعریفی خشک و انتزاعی است. با این حال، نباید کاملاً تصادفی یا بی‌ربط به نظر برسد: در اصل، کاری جز تکرار همان قوانینی که از قبل دربارهٔ جمع و ضرب اعداد گویا یا حقیقی می‌شناسید انجام نمی‌دهد. جهش ذهنیِ اصلی این‌جاست که به این ایده عادت کنیم که یک میدان از این راه ساخته می‌شود که:

هر مجموعه‌ای از عناصر (با هر ماهیتی)،
همراه با دو عملیات دوتایی مشخص

داشته باشیم که تمام این اصول را ارضا کنند.

یک مثال غیرعددی از میدان

برای نمونه، میدانی وجود دارد که عناصرش چهار نماد $F = \set{ O, I, X, Y }$ هستند. عملیات‌های جمع و ضرب نیز به‌وسیلهٔ جدول‌های زیر تعریف می‌شوند:

   + |  O  I  X  Y
  ---+------------
   O |  O  I  X  Y
   I |  I  O  Y  X
   X |  X  Y  O  I
   Y |  Y  X  I  O

   × |  O  I  X  Y
  ---+------------
   O |  O  O  O  O
   I |  O  I  X  Y
   X |  O  X  Y  I
   Y |  O  Y  I  X

معنای این جدول‌ها این است که، برای مثال، $X + Y = I$. زیرا در جدول جمع، در سطرِ $X$ و ستونِ $Y$ مقدار $I$ قرار دارد.

برای این‌که مطمئن شویم با یک میدان طرف هستیم، باید بررسی کنیم که تمام اصول برقرار باشند.

بررسی جابجایی‌پذیریِ جمع ساده است: جدول $+$ نسبت به قطر اصلی متقارن است؛ یعنی اگر سطرها و ستون‌ها را جابه‌جا کنیم، تغییری نمی‌کند. همین موضوع برای ضرب نیز صادق است.

بررسی شرکت‌پذیری در هر دو عمل کاری طولانی و مکانیکی است؛ باید تمام حالت‌های ممکن را یکی‌یکی بررسی کرد. برای نمونه:

\[(X + I) + Y = Y + Y = O\]

در حالی که

\[X + (I + Y) = X + X = O.\]

پس در این حالت خاص، شرکت‌پذیری برقرار است.

آیا عنصر خنثای جمع وجود دارد؟ بله — به‌وضوح عنصر $O$ این نقش را بازی می‌کند. می‌توان دید که $O$ جمع با هر چیزی، همان چیز می‌شود؛ کافی است توجه کنیم که سطرِ $O$ در جدول جمع، دقیقاً کپیِ عنوان ستون‌هاست. به‌طور مشابه، عنصر $I$ عنصر خنثای ضرب است.

معکوس‌های جمعی: برای هر عنصر باید عنصری وجود داشته باشد که با جمع شدن با آن، نتیجه $O$ شود.
در این مثال، این کار بسیار ساده است: کافی است به قطر اصلی جدول جمع نگاه کنیم. هر عنصر، معکوس خودش است:

\[-I = I,\qquad -X = X,\qquad -Y = Y.\]

برای مثال:

\[X + (-X) = X + X = O.\]

معکوس‌های ضربی: برای ضرب، باید بررسی کنیم که هر سطر (به‌جز سطر $O$) شامل عنصر $I$ باشد؛ چرا که $I$ همان $1$ میدان است. و واقعاً هم چنین است: تمام سطرها به‌جز سطر $O$ دارای $I$ هستند.

در نهایت باید قانون توزیع‌پذیری را بررسی کنیم. در این مرحله، این کار نیز به‌صورت بررسی موردبه‌مورد انجام می‌شود (بعداً راه بهتری برای درک این میدان و اثبات میدان‌بودن آن خواهیم یافت). به‌عنوان نمونه:

\[X \times (X + Y) = X \times I = X,\]

در حالی که

\[X \times X + X \times Y = Y + I = X.\]

پس این حالت نیز بررسی می‌شود.

با این حساب، تمام اصول برقرارند و این ساختار واقعاً یک میدان است — حتی با آن‌که هیچ‌کدام از عناصرش «عدد» به معنای معمول نیستند.

نتایجی که از اصول میدان به‌دست می‌آیند

از اصول میدان می‌توان نتایج زیادی استخراج کرد که در هر میدانی باید برقرار باشند. اگر $0$ عنصر خنثای جمع باشد و $x$ عنصری از میدان مقدار $0 + x$ چیست؟ اصل A2 می‌گوید:

\[x + 0 = x\]

و اصل A1 (جابجایی‌پذیری) می‌گوید:

\[x + 0 = 0 + x.\]

پس نتیجه می‌گیریم:

\[0 + x = x.\]

به همین ترتیب، برای ضرب داریم:

\[1 \times x = x \times 1 = x.\]

یکتایی عضو خنثای جمع

ادعا کردیم که عنصر خنثای جمع، یعنی $0$، یکتا است. یعنی یک میدان نمی‌تواند دو عنصر متفاوت داشته باشد که هر دو خنثای جمع باشند.

چرا؟ فرض کنید هر دو عنصر $0$ و $0’$ خنثای جمع باشند. آن‌گاه داریم:

به‌دلیل خنثا بودن $0$: $0 + 0' = 0'$
و به‌دلیل خنثا بودن $0’$: $0 + 0' = 0$

پس ناچار:

\[0 = 0'.\]

بعداً نشان خواهیم داد که عنصر خنثای ضرب، و نیز معکوس‌های جمعی و ضربی همگی یکتا هستند.

ضرب در صفر

حال سؤال مهمی پیش می‌آید: مقدار $0 \times x$ چیست؟

هیچ‌کدام از اصول میدان مستقیماً چیزی دربارهٔ آن نمی‌گویند. از تجربهٔ اعداد معمول انتظار داریم که این مقدار برابر با $0$ باشد، اما آیا در هر میدانی الزاماً چنین است؟ پاسخ مثبت است. دلیلش را ببینیم.

عنصر دلخواه $x$ از میدان $F$ را در نظر بگیرید و بگذارید:

\[a = 0 \times x.\]

اکنون داریم:

\[\begin{aligned} a + a &= 0 \times x + 0 \times x \\ &= (0 + 0) \times x \\ &= 0 \times x \\ &= a. \end{aligned}\]

توضیح مراحل:

سطر اول، تعریف $a$ است؛
سطر دوم، به‌کمک اصل توزیع‌پذیری (D)؛
سطر سوم، به‌دلیل خنثابودن $0$ در جمع؛
و سطر آخر، دوباره تعریف $a$.

پس به رابطهٔ

\[a + a = a\]

می‌رسیم.

طبق اصل A3، عنصر $a$ دارای معکوس جمعی $-a$ است.
آن را به دو طرف معادله اضافه می‌کنیم (اضافه‌کردن مقدار یکسان به دو طرف، تساوی را حفظ می‌کند):

\[a + a + (-a) = a + (-a)\]

که ساده می‌شود به:

\[a + 0 = 0\]

و در نتیجه:

\[a = 0.\]

پس نشان دادیم که:

\[0 \times x = 0\]

برای هر $x$، بدون هیچ استثنایی.

بسیاری از نتایج دیگر اصول میدان در تمرین‌ها آمده‌اند. حتماً آن‌ها را حل کنید. این تمرین‌ها هم تمرین خوبی برای استدلال از روی اصول هستند، و هم خود نتایج، قوانینی مفیدند که بعداً می‌توانید آزادانه از آن‌ها استفاده کنید.

یک هشدار مهم

پیش از ادامه، یک نکتهٔ احتیاطی مهم:

بیشتر چیزهایی که از جبر مدرسه‌ای می‌شناسید، در هر میدانی هم درست‌اند چون نتیجهٔ مستقیم اصول میدان هستند. می‌توانید معادله حل کنید، عبارت‌ها را ساده کنید، و محاسبات جبری انجام دهید. اما یک ویژگی اساسی در برخی میدان‌ها وجود دارد که کاملاً با جبر مدرسه‌ای ناآشناست.

جمعِ مکررِ عدد یک و مشخصهٔ میدان

از آن‌جا که هر میدان دارای عنصر خنثای ضرب $1$ است، می‌توان پرسید اگر آن را بارها با خودش جمع کنیم چه می‌شود. عناصر زیر را در نظر بگیرید:

\[1,\quad 1+1,\quad 1+1+1,\quad 1+1+1+1,\quad \ldots\]

در بسیاری از میدان‌ها — مانند اعداد گویا یا حقیقی — این عناصر همگی با هم متفاوت‌اند. اما در بعضی میدان‌ها، اتفاق می‌افتد که جمع تعداد معینی از $1$‌ها برابر با $0$ می‌شود.

هیچ‌چیز در اصول میدان مانع این اتفاق نیست. در واقع، قبلاً دو مثال از آن را دیده‌ایم:

میدان دو عضوی $\set{0, 1}$ که در آن $1 + 1 = 0$
میدان چهار عضوی $\set{O, I, X, Y}$ که در آن نیز $I + I = O$

در تمرین‌ها ثابت خواهید کرد که اگر چنین عددی وجود داشته باشد، کوچک‌ترین تعدادِ $1$‌هایی که جمعشان برابر با $0$ می‌شود، همیشه یک عدد اول $p$ است. به این عدد، مشخصهٔ میدان می‌گویند.

تعریف مشخصهٔ میدان

تعریف:
مشخصهٔ میدان $F$ که با

\[\mathrm{char}(F)\]

نشان داده می‌شود،
کوچک‌ترین عدد طبیعی $p$ است به‌طوری که:

\[\underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{p\ \text{times}} = 0.\]

اگر چنین عددی وجود نداشته باشد،
می‌گوییم مشخصهٔ میدان برابر با $0$ است.

برای مثال:

مشخصهٔ میدان اعداد گویا $\mathbb{Q}$ برابر با $0$ است؛
مشخصهٔ میدان‌های $\mathbb{R}$ و $\mathbb{C}$ نیز برابر با $0$ است؛
اما $\mathrm{char}(\mathbb{F}_2) = \mathrm{char}(\mathbb{F}_4) = 2.$

در این‌جا $\mathbb{F}_2$ میدان دو عضوی
و $\mathbb{F}_4$ میدان چهار عضوی است.

تمرین‌ها

یادآوری:
تمرین‌ها بخش جدایی‌ناپذیرِ یادگیری هستند. خواندن تعریف‌ها بدون حل‌کردن تمرین‌ها، تقریباً به‌اندازهٔ نخواندن بی‌فایده است. تمرین‌ها را حل کنید.

تمرین 1. در تمرین‌های زیر، در چارچوب میدان‌ها، دوباره به سراغ مفاهیمی می‌رویم که از جبر مدرسه‌ای با آن‌ها آشنا هستید. باید ثابت کنید که این گزاره‌ها تنها با استفاده از اصول میدان درست‌اند. پس از آن، می‌توانید آزادانه از آن‌ها استفاده کنید، که باعث صرفه‌جویی زیادی در زمان و انرژی می‌شود.

آ) اگر $a$، $x$ و $y$ عناصری از یک میدان باشند و $a + x = a + y$ آنگاه $x = y$. این همان حرکت آشنای «کم‌کردنِ $a$ از دو طرف معادله» است.

ب) اگر $a$، $x$ و $y$ عناصری از یک میدان باشند، $a \neq 0$ و $ax = ay$ آنگاه $x = y$. چرا لازم است شرط $a \neq 0$ را اضافه کنیم؟

پ) معادلهٔ خطی $ax = b$ را در یک میدان دلخواه حل کنید. در این‌جا $a$ و $b$ داده‌شده‌اند و $x$ مجهول است.

ت) «نصف» در یک میدان کلی چه معنایی می‌تواند داشته باشد؟ برای معنادار بودن این مفهوم، چه شرطی باید روی مشخصهٔ میدان بگذاریم؟

ث) معادلهٔ درجهٔ دوم $x^2 + bx + c = 0$ را در هر میدانی با مشخصه‌ای غیر از $2$ حل کنید. روش جبر مدرسه‌ای را تقلید کنید.

نکته:
حل معادلات درجهٔ دوم در میدان‌هایی با مشخصهٔ $2$ بسیار دشوارتر است.

تمرین 2. فرض کنید $F$ میدانی باشد که در آن جمع تعدادی از $1$‌ها برابر با $0$ شود. نشان دهید که کمترین تعدادِ چنین $1$‌هایی، یک عدد اول است.

تمرین 3. فرض کنید $C$ مجموعهٔ تمام زوج‌های مرتب از اعداد حقیقی باشد. هر عنصر $C$ به‌شکل $(x,y)$ است که $x$ و $y$ حقیقی‌اند.
جمع و ضرب را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم:

\[(a,b) + (c,d) = (a+c,\, b+d)\] \[(a,b) \times (c,d) = (ac - bd,\, ad + bc)\]

آ) با دقت و به‌طور کامل ثابت کنید که این دو عمل اصول میدان را ارضا می‌کنند و بنابراین $C$ را به یک میدان تبدیل می‌کنند که معمولاً با $\mathbb{C}$ نشان داده می‌شود — یعنی میدان اعداد مختلط.

ب) اگر همین فرایند را تکرار کنیم چه می‌شود؟ زوج‌هایی به‌شکل $(z,w)$ از اعداد مختلط در نظر بگیرید و جمع و ضرب را به همین صورت تعریف کنید. آیا به یک میدان جدید می‌رسیم؟

تمرین 4. اگر در اصل M3 شرط «به‌جز $0$» را حذف کنیم چه اتفاقی می‌افتد؟ ثابت کنید که با این مجموعهٔ اصلاح‌شده از اصول، هیچ میدان اصلاح‌شده‌ای وجود نخواهد داشت.

تمرین 5. در این تمرین، یکی از ویژگی‌های بنیادی اعداد صحیح $\mathbb{Z}$ را با عمل جمع معمولی ثابت می‌کنیم؛ مجموعهٔ

\[\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}\]

زیرمجموعهٔ اعداد زوج، یا زیرمجموعهٔ مضارب $3$ از اعداد صحیح، این ویژگی را دارند که جمع یا تفاضل دو عضو آن‌ها باز هم در همان مجموعه است. به چنین مجموعه‌ای می‌گوییم بسته.

آ) مجموعهٔ $S$ از اعداد صحیح را «بسته» می‌نامیم اگر برای هر $a,b \in S$ داشته باشیم:

\[a+b \in S \quad \text{,} \quad a-b \in S.\]

نشان دهید اگر $S$ بسته باشد، یا $S = \set{0}$ است یا دست‌کم یک عدد مثبت در $S$ وجود دارد.

ب) فرض کنید $S$ بسته باشد و برابر با $\set{0}$ نباشد. بگذارید $a$ کوچک‌ترین عدد مثبت در $S$ باشد. نشان دهید $a$ هر عددی در $S$ را می‌شمارد. در واقع ثابت کنید S شامل هر مضرب مثبت یا منفی از a است:

\[S = \set{ ak \mid k \in \mathbb{Z} }.\]

تمرین 6. فرض کنید $p$ عددی اول باشد. مجموعهٔ

\[F = \{0,1,2,\ldots,p-1\}\]

را در نظر بگیرید. جمع $\oplus$ و ضرب $\otimes$ را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم:

$a \oplus b$ باقیماندهٔ $a+b$ بر $p$ است،
$a \otimes b$ باقیماندهٔ $ab$ بر $p$ است.

از نمادهای متفاوت $\oplus$ و $\otimes$ استفاده می‌کنیم تا این عملیات را از جمع و ضرب معمولی اعداد صحیح متمایز کنیم.

آ) نشان دهید که $F$ با این دو عمل، یک میدان است که با $\mathbb{F}_p$ نشان داده می‌شود.

ب) اگر $p$ اول نباشد، چه چیزی خراب می‌شود؟

ج) مشخصهٔ این میدان چیست؟

تمرین 7. با شروع از میدان $\mathbb{F}_3$، ساخت میدان $\mathbb{C}$ را (از تمرین 3) تقلید کنید: زوج‌هایی از عناصر $\mathbb{F}_3$ در نظر بگیرید و جمع و ضرب را با همان فرمول‌ها تعریف کنید.

الف) نشان دهید که حاصل، میدانی به‌نام $\mathbb{F}_9$ است.

ب) این میدان چند عنصر دارد؟

پ) مشخصهٔ $\mathbb{F}_9$ چیست؟

ت) اگر همین کار را با $\mathbb{F}_2$ انجام دهید چه می‌شود؟

ث) یک فرضیه بسازید: کدام میدان‌ها $F$ این خاصیت را دارند که این فرایند، میدانی جدید تولید کند؟ چه ویژگی‌ای دارند؟

منبع

این یادداشت برگرفته و ترجمه‌ای آزاد از نوشته‌های بلاگ
Abstract Linear Algebra

نوشتهٔ Alon Amit است.