تقارن؛ نوری که مسئله را ساده‌تر می‌کند
در دل بسیاری از مسئله‌های ریاضی، جایی پنهان یک تقارن نشسته است؛ نقطه‌ای که اگر آن را ببینیم، مسئله از شکل واقعی‌اش ساده‌تر می‌شود. تقارن همیشه به معنای شکل‌های زیبا یا الگوهای تکراری نیست و کلید حل بسیاری از مسائل ریاضی است.
گاهی، برای رسیدن به این تقارن، باید عمداً ابهام را زیادتر کنیم؛ چیزی به مسئله اضافه کنیم که در نگاه اول کار را سخت‌تر می‌کند، اما در عوض، ساختار را متقارن و قابل‌تحلیل می‌سازد. برای روشن شدن این ایده، یکی از مسئله‌های ساده اما زیبا را می‌آوریم — مسئله‌ای که تنها با تکیه بر تقارن حل می‌شود.
مسئلهٔ قرص‌ها
فردی بیمار است و از پزشک ۱۰ قرص نوع $A$ و ۱۰ قرص نوع $B$ می‌گیرد. این قرص‌ها از نظر ظاهر کاملاً یکسان‌اند و از هم قابل تشخیص نیستند. او باید هر روز یک قرص $A$ و یک قرص $B$ مصرف کند؛ در غیر این صورت، آسیب می‌بیند.
روز اول و دوم همه‌چیز خوب پیش می‌رود: هر بار یک قرص $A$ و یک قرص $B$ را از جعبه‌ها برمی‌دارد و می‌خورد. اما روز سوم اتفاقی می‌افتد: یک قرص $A$ را در کف دست می‌اندازد. وقتی می‌خواهد یک قرص $B$ اضافه کند، دستش می‌لرزد و دو قرص $B$ می‌افتد!
اکنون در کف دستش سه قرص کاملاً مشابه دارد: یک قرص $A$ و دو قرص $B$. او نمی‌تواند تشخیص دهد کدام‌یک چیست.
پیشنهاد می‌کنم پیش از خواندن ادامه، کمی به این وضعیت فکر کنید. آیا می‌توان راهی یافت که او همچنان بتواند داروی روزهای بعدی را درست مصرف کند؟ (او امکان خرید دوباره‌ی قرصی را ندارد).
راه‌حل با ایدهٔ تقارن
اگر به وضعیت بیمار در روز سوم نگاه کنیم، چیزی که در کف دست دارد نامتقارن است:
- یک قرص $A$
- دو قرص $B$
و هیچ راهی برای تشخیص آن‌ها ندارد. این نامتقارن‌بودن دقیقاً همان چیزی است که مسئله را سخت می‌کند.
در نگاه اول شاید چنین فکر کنیم که باید همین سه قرص را به‌نحوی مدیریت کنیم؛ اما گاهی در مسائل، اگر ابهام را کمی بیش‌تر کنیم اما تقارن را افزایش دهیم، راهِ حل ساده‌تر می‌شود. اینجا یک پیشنهاد «غیرطبیعی» اما هوشمندانه داریم:
گام اول: افزودن ابهام برای ساختن تقارن
بیمار می‌تواند یک قرص $A$ دیگر از جعبه بردارد و به کف دست اضافه کند. حالا در دست او چهار قرص یک‌شکل است، و ما می‌دانیم که:
- دو قرص از نوع $A$
- دو قرص از نوع $B$
وجود دارد. ابهام ظاهراً بیش‌تر شده است (به‌جای ۳ قرص ناشناخته، حالا ۴ قرص ناشناخته داریم)، اما تقارن کامل شده است: تعداد $A$ و $B$ برابر است.
گام دوم: نصف‌کردن قرص‌ها
اکنون همهٔ این چهار قرص را از وسط نصف می‌کنیم. در نتیجه، ۸ نصف‌قرص یک‌شکل خواهیم داشت و در هر قرصِ کامل اولیه، دو نصف‌قرص مانده است. حالا می‌توانیم این ۸ نصف‌قرص را به دو گروه ۴تایی تقسیم کنیم، طوری که:
- هر گروه شامل یک نصف از هر قرصِ اولیه باشد.
به بیان دیگر، هر گروه شامل:
- نصف از $A_1$
- نصف از $A_2$
- نصف از $B_1$
- نصف از $B_2$
خواهد بود.
گام سوم: مصرف امروز و فردا
یک گروهِ ۴تایی را امروز مصرف می‌کند، و گروهِ ۴تایی دیگر را فردا.
در هر گروه، از نظر مقدار دارو، دقیقاً:
- یک قرص کامل $A$
- و یک قرص کامل $B$
وجود دارد. به این ترتیب، با افزودن اندکی ابهام ولی ایجاد تقارن، بیمار می‌تواند هم آن‌روز را و هم روز بعد را به‌درستی از نظر دارو پشت سر بگذارد.