یادداشتهای فرکتالییادداشتهای کوتاه، شهودی و گاهی عمیق دربارهٔ ریاضی به زبان فارسی؛ از اعداد مختلط و استقرا تا اصل لانهٔ کبوتر، تقارن، مثلثات و ایدههای حل مسئله.https://fractalnotes.com/2026-08-04T22:43:32+00:00Pooya Rezaiehttps://fractalnotes.com/اعداد مختلط؛ از z² + c تا ژولیا و ماندلبروhttps://fractalnotes.com/complex-numbers/julia-mandelbrot.html2026-08-01T00:00:00+00:002026-08-03T00:00:00+00:00برگهٔ پایانی مسیر اعداد مختلط: تکرار تبدیل z²+c و سرنوشت مدارها، مجموعههای ژولیا بهعنوان مرز ماندن و گریختن، مجموعهٔ ماندلبرو بهعنوان نقشهٔ همهٔ ژولیاها و معیار فرار — دیداری با فراکتالها.اعداد مختلط؛ تبدیلها، فاصله و مکانهای هندسیhttps://fractalnotes.com/complex-numbers/transformations-and-loci.html2026-08-01T00:00:00+00:002026-08-03T00:00:00+00:00بهکارگیری حساب مختلط در هندسهٔ صفحه: تبدیلهای z به az+b بهعنوان دوران، کشش و انتقال، نقطهٔ ثابت آنها، قدر مطلق تفاضل بهعنوان فاصله و ترجمهٔ معادلهها به مکانهای هندسی مانند دایره و عمودمنصف.اعداد مختلط؛ مزدوج، قدر مطلق و تقسیمhttps://fractalnotes.com/complex-numbers/conjugate-and-division.html2026-08-01T00:00:00+00:002026-08-02T00:00:00+00:00مزدوج بهعنوان بازتاب در آینهٔ محور حقیقی، اتحاد کلیدی حاصلضرب عدد در مزدوجش برابر مربع قدر مطلق، معنای هندسی تقسیم و توضیح ترفند مشهور «ضرب در مزدوج مخرج»؛ همراه با اتحاد برهماگوپتا–فیبوناچی.اعداد مختلط؛ ریشههای یک عدد دلخواهhttps://fractalnotes.com/complex-numbers/nth-roots.html2026-08-01T00:00:00+00:002026-08-02T00:00:00+00:00حل کامل معادلهٔ z به توان n مساوی w با نگاه قطبی: هر عدد مختلط ناصفر دقیقاً n ریشهٔ n-اُم دارد که رأسهای یک چندضلعی منتظماند — همان چندضلعی ریشههای واحد، چرخیده و کشآمده.اعداد مختلط؛ اندازه، آرگومان و صورت قطبیhttps://fractalnotes.com/complex-numbers/polar-form.html2026-08-01T00:00:00+00:002026-08-02T00:00:00+00:00تبدیل میان نمایش دکارتی و قطبی عدد مختلط: محاسبهٔ اندازه با قضیهٔ فیثاغورس، یافتن آرگومان با توجه به ربع و دام آرکتانژانت، چندمقداری بودن آرگومان و قراردادهای آن، و استخراج رایگان اتحادهای جمع زاویهها از ضرب مختلط.اعداد مختلط؛ توانها و ریشههای واحدhttps://fractalnotes.com/complex-numbers/roots-of-unity.html2026-07-31T00:00:00+00:002026-08-03T00:00:00+00:00توانهای اعداد مختلط بهمثابه دورانهای پیاپی (فرمول دموآور)، حل معادلهٔ z به توان n مساوی ۱ با نگاه قطبی، ریشههای واحد بهصورت رأسهای یک چندضلعی منتظم و اثبات تقارنیِ صفر بودن جمع آنها.اعداد مختلط؛ از هندسه تا جبرhttps://fractalnotes.com/complex-numbers/from-geometry-to-algebra.html2026-07-31T00:00:00+00:002026-08-02T00:00:00+00:00پلی میان نمایش جبری x + yi و تعریف هندسی ضرب اعداد مختلط: توزیعپذیری بهعنوان یک واقعیت هندسی، قاعدهٔ ضرب جبری و جمعبندی خواص میدانیِ دستگاه اعداد مختلط در یک قاب واحد.مجموع توانها با یک نگاه ترکیبیاتیhttps://fractalnotes.com/problems/sum_of_power_3.html2026-02-13T00:00:00+00:002026-08-03T00:00:00+00:00بازنویسی مجموع توانها به صورت یک مسئلهی شمارش و استفاده از ایدهی «یک مجموعه، دو روش شمارش» برای نگاه ترکیبیاتی به مسئله.چرا مجموعِ مکعبها مربعِ مجموع است؟https://fractalnotes.com/problems/sum_of_power_2.html2026-02-12T00:00:00+00:002026-02-13T00:00:00+00:00نگاه هندسی به رابطهٔ مجموع مکعبها.یک روش برای محاسبهی مجموع توانهاhttps://fractalnotes.com/problems/sum_of_power_1.html2026-02-10T00:00:00+00:002026-02-13T00:00:00+00:00رویکردی برای محاسبهی مجموعِ توانهای متوالی اعداد طبیعی با استفاده از ایدههای پولیا و حل نسخههای سادهتر مسئله.جبر خطی؛ میدانهاhttps://fractalnotes.com/linear-algebra/fields-introduction.html2026-01-04T00:00:00+00:002026-02-13T00:00:00+00:00مقدمهای شهودی بر مفهوم میدان در جبر خطی؛ از اعداد گویا و حقیقی تا میدانهای متناهی، اصول میدان و مشخصه با مثالهای ملموس و تمرینهای راهنما.مسئله: مساحت مثلثها بهصورت جمع خطیhttps://fractalnotes.com/problems/triangle-area-linear-sum.html2026-01-03T00:00:00+00:002026-02-10T00:00:00+00:00مسئلهای ترکیبیاتی–هندسی دربارهٔ قرار دادن شماری نقطه در صفحه بهطوری که مساحت هر مثلث بهشکل جمع خطی ضرایبی وابسته به رئوسش نوشته شود.مسئله: اعداد طبیعی روی صفحهٔ شطرنجی نامتناهیhttps://fractalnotes.com/induction/infinite-chessboard-divisibility.html2026-01-03T00:00:00+00:002026-02-13T00:00:00+00:00مسئلهای المپیادی دربارهٔ چیدن اعداد طبیعی روی صفحهٔ شطرنجی نامتناهی با شرطی قوی روی مقسومعلیه بودن عدد هر خانه برای مجموع چهار همسایهٔ خودش.مقدمهای بر جبر خطیhttps://fractalnotes.com/linear-algebra/introduction.html2025-12-28T00:00:00+00:002026-02-10T00:00:00+00:00یادداشتی انگیزشی برای جبر خطی که با مثالهایی از نیروها، دنبالههای فیبوناچی، حل معادلات دیفرانسیل و کدهای خطی، ایدهٔ فضای برداری را بهصورت شهودی معرفی میکند.نسبتهای مثلثاتی دوبرابر یک زاویهhttps://fractalnotes.com/trigonometry/double-angle-formula-cosine.html2025-12-25T00:00:00+00:002026-02-13T00:00:00+00:00استخراج فرمولهای کسینوس دوبرابر با بازنویسی مسئله در زبان هندسه و استفاده از زاویهٔ محاطی و مرکزی روی دایره.مسئلهٔ اعداد روی دایرهhttps://fractalnotes.com/pigeonhole-principle/a-circle-sum-puzzle.html2025-12-20T00:00:00+00:002026-02-13T00:00:00+00:00مسئلهای از اصل لانهٔ کبوتر و جمعهای جزئی با ۱۰۱ عدد طبیعی روی دایره که در آن باید قطعهای متوالی با مجموع ۲۰۰ (یا ۱۰۰) پیدا کنیم.استقرا و برچسبگذاری یالهای گراف کاملhttps://fractalnotes.com/induction/graph-edge-labeling-problem.html2025-12-18T00:00:00+00:002026-02-13T00:00:00+00:00بررسی گراف کامل با برچسبهای ۱ تا n روی یالها و شرط مثلثی خاص، و یافتن حداکثر تعداد رئوس با استفاده از ساخت و استقرای قوی.استقرا و مثلث صفر در گراف کامل با برچسبهای دودوییhttps://fractalnotes.com/induction/zero-triangle-graph-problem.html2025-12-14T00:00:00+00:002026-08-03T00:00:00+00:00مسئلهٔ یافتن مثلثی با سه یالِ صفر در گراف کامل با برچسبهای دودویی، با استفاده از استقرا و ساخت زیرگراف با یالهای زوج.تغییر نگاه؛ مسئلهٔ چراغها و کلیدهاhttps://fractalnotes.com/problem-solving/recasting/lighting-building-problem.html2025-12-10T00:00:00+00:002026-02-13T00:00:00+00:00مسئلهٔ چراغها و کلیدها که با مدلسازی گراف دوبخشی، استقرا و اصل میانگین به دو راهحل زیبا میرسد.تغییر نگاه به مسئله؛ مسئلهٔ مجموع دو تاسhttps://fractalnotes.com/problem-solving/recasting/dice-problem.html2025-11-29T00:00:00+00:002026-02-13T00:00:00+00:00مسئلهٔ ساخت تاسهای غیراستاندارد با توزیع مجموعِ استاندارد، با بازنویسی در زبان چندجملهایها و تجزیهٔ آنها.تقارن در بازیها؛ مسئلهٔ سکهها روی میز دایرهایhttps://fractalnotes.com/problem-solving/symmetry/circle-game.html2025-11-23T00:00:00+00:002026-02-13T00:00:00+00:00بازی گذاشتن سکه روی میز دایرهای که با ایدهٔ تقارن مرکزی، استراتژی برد بازیکن اول را آشکار میکند.تقارن در حل دستگاههای معادلاتhttps://fractalnotes.com/problem-solving/symmetry/systems-of-equations.html2025-11-19T00:00:00+00:002026-02-13T00:00:00+00:00بررسی یک دستگاه معادلات متقارن که با دیدن تقارن پنهان، به مجموعهای محدود و ساده از جوابها فرو میریزد.تقارن؛ مسئلهٔ قرصهاhttps://fractalnotes.com/problem-solving/symmetry/pill-problem.html2025-11-17T00:00:00+00:002026-02-13T00:00:00+00:00یک مسئلهٔ کلاسیک قرص و دارو که با افزودن ابهام و ساختن تقارن، به راهحلی دقیق و شهودی میرسد.آشنایی کوتاه با اعداد مختلطhttps://fractalnotes.com/complex-numbers/introduction.html2025-11-14T00:00:00+00:002026-08-02T00:00:00+00:00معرفی هندسی اعداد مختلط بهعنوان بردارهای صفحه، با تفسیر جمع و ضرب بهصورت جمع برداری، دوران و کشش و توضیح نقش واحد موهومی در این تصویر.ریشههای واحد؛ مسئلهٔ ششم المپیاد جهانی ۱۹۹۵https://fractalnotes.com/problem-solving/roots-of-unity/imo-1995-subset-sums.htmlحل مسئلهٔ ششم المپیاد جهانی ریاضی ۱۹۹۵ با فیلتر ریشههای واحد: شمارش زیرمجموعههای p-عضوی مجموعهٔ ۱ تا 2p که مجموعشان بر p بخشپذیر است؛ همراه با اتحاد کلیدی حاصلضرب، و روایت ترکیبیاتی همان استدلال با دورانها.ریشههای واحد؛ مسئلهٔ کاشیکاریhttps://fractalnotes.com/problem-solving/roots-of-unity/tiling-with-roots-of-unity.htmlبهکارگیری ریشههای واحد در مسئلههای کاشیکاری: اثبات فرشنشدن صفحهٔ ۱۰×۱۰ با کاشی ۱×۴ از راه وزندهی مختلط، قضیهٔ دِ بروین برای کاشیهای راست، و محاسبهٔ کامل خانههای مجاز در کاشیکاری صفحهٔ ۸×۸ منهای یک خانه با کاشی ۱×۳.